Zbytek po dělení

(Přesměrováno z Modulo, přímý odkaz na Zbytek po dělení)

Zbytek po dělení nebo také modulo je početní operace související s operací celočíselného dělení. Například 7 / 3 = 2 se zbytkem 1. Také můžeme říci, že 7 modulo 3 = 1, zkráceně 7 mod 3 = 1. Je-li zbytek po dělení a/n nula, říkáme že a je dělitelné n.

[editovat] Záporná čísla

Protože není intuitivně jasné, jak by se měla operace zbytku po dělení chovat u záporných čísel, používají se přinejmenším dvě definice této operace:

"Matematická varianta":

$(a\;\bmod\;m)= a - \left \lfloor \frac{a}{m} \right \rfloor \cdot m$

Závorky $\lfloor \cdot \rfloor$ zde označují nejbližší celé číslo menší než podíl a:m. Pro tuto variantu platí:

$(a + km)\;\bmod\;m = a\;\bmod\;m\quad(k\in\mathbb Z),$

ale nastávají případy, kdy

$(-a)\;\bmod\;m \ne-(a\;\bmod\;m),$ např. $(-2)\;\bmod3=1\ne-2=-(2\;\bmod\;3)$ .

Je-li

m

kladné, pak $a\;\bmod\;m\geq0$ pro všechna

a

"Symetrická varianta":

$(a\;\bmod\;m) = a - m\cdot (a\,\operatorname{div}\,m);$

kde $a\,\operatorname{div}\,m$ označuje směrem k nule zaokrouhlený podíl

a / m

. Pro tuto variantu platí

( - a)mod m = - (a mod m)

ale nastávají případy, kdy

$(a + km)\;\bmod\;m\ne a\;\bmod\;m$ , např. $(1 - 3)\;\bmod\;3=(-2)\;\bmod\;3=-2\ne 1=1\;\bmod\;3$ .

$a\;\bmod\;m$ zde má stejné znaménko jako

a

, pokud není $a\;\bmod\;m = 0$ .

V programovacích jazycích je častěji implemntována druhá varianta. Pokud je $a\geq 0$ a současně $m > 0$ , dávají obě varianty stejné výsledky.

[editovat] Použití

V praktickém životě se modulo někdy používá jako prostředek pro kontrolu úplnosti a správnosti. Například většina rodných čísel osob narozených po roce 1953 je dělitelných číslem 11.^[1]

Operace modulo se hojně využívá v programování a návrhu algoritmů, např. při testu sudosti čísla nebo výpočtu dne v týdnu. Také se často používá při generování kontrolních součtů, které bývají součástí komunikačních protokolů.

Je také důležitou součástí algebry, kde se při konstrukci konečných celočíselných algeber využívá modulární aritmetika.

[editovat] Operace modulo

Některé kalkulačky mají tlačítko s funkcí mod a mnoho programovacích jazyků má funkci mod nebo přímo operátor mod nebo %. Zápis operace modulo může být

a % n

nebo

a mod n

[editovat] Související články

Euklidův algoritmus

[editovat] Reference

↑ Katalog datových prvků ISVS

Kategorie: Aritmetika

Zbytek po dělení v jiných jazycích: Dansk, Deutsch, English, Français, Bahasa Indonesia, ‪Norsk (bokmål)‬, Slovenščina

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Zbytek_po_d%C4%9Blen%C3%AD“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 7. 10. 2008 v 05:48.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).