Moivreova věta

Moivreova věta říká, že pro libovolné reálné číslo x a libovolné celé číslo n platí:

$(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,$

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních koeficientů je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zⁿ = 1.

De Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce e^ix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

[editovat] Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

$z=A(\cos x+i\sin x),\,$

pak všech jeho $n \,\!$ odmocnin $n \,\!$ -tého stupně lze zapsat jako

$z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos \frac{x+2k\pi}{n} + i\sin \frac{x+2k\pi}{n} ) : 0 \leq k \leq n-1 \}$

[editovat] Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0, použijeme indukci. Pro n=1 indukční předpoklad zcela evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n₀ + 1

$(\cos x+i\sin x)^{n_0+1}\,$

$= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{n_0}\,$

$= (\cos(n_0x)+i\sin(n_0x))(\cos x+i\sin x)\,$ (z indukčního předpokladu)

$= \cos(n_0x)\cos x - \sin(n_0x)\sin x + i(\cos(n_0x)\sin x + \sin(n_0x)\cos x)\,$

$= \cos(n_0+1)x + i\sin(n_0+1)x\,$

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n₀ + 1, jestliže platí pro n₀, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože $\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i\cdot0 = 1$ a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

$(\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,$

$=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}\,$ (shora)

$=\cos(mx) - i\sin(mx)\,$

$=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,$

Tvrzení tedy platí pro všechna n přirozená. Q.E.D.

Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trošku obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jedním z (více) řešení výrazu (cos z + i⋅sin z)^w.

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Moivreova věta v jiných jazycích: العربية, বাংলা, Català, Cymraeg, Dansk, Deutsch, English, Español, Suomi, Français, עברית, Magyar, Italiano, 日本語, ქართული, ភាសាខ្មែរ, 한국어, Nederlands, Polski, Português, Русский, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 23. 9. 2008 v 15:24.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).