Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Obsah

1 Značení
2 Výpočet
3 Vlastnosti
4 Součet momentů hybnosti vnitřních sil
5 Související články

[editovat] Značení

Symbol veličiny: $\mathbf{L}$
Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m².s^-1

[editovat] Výpočet

Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).

Moment hybnosti $\mathbf{L}$ je určen vektorovým součinem jako

$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ ,

kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor a $\mathbf{p}$ je hybnost.

[editovat] Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu $\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

$\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$ ,

kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor, $\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$ je rychlost, $m$ je hmotnost tělesa (hmotného bodu) pohybujícího se po kruhové dráze, $\mathbf{M}$ je moment síly a $\mathbf{L}$ je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že vektorový součin $\mathbf{v}\times m\mathbf{v}$ je roven nule (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz $\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)$ ).

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu $O$ je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro $i$ -tý hmotný bod podle vztah $\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}$ . Z vlastností momentu síly pak plyne

$\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$ ,

kde $\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i$ představuje celkový moment hybnosti.

[editovat] Vztah k plošné rychlosti

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí $\mathbf{w}$ a momentem hybnosti jako

$\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}$

[editovat] Vztah k mometu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako $\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}$ . Moment hybnosti soustavy $n$ hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]$

kde $\mathbf{r}_i$ označuje polohu $i$ -tého hmotného bodu s hmotností $m i$ vzhledem k těžišti a $\mathbf{\omega}$ je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]$

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti $\mathbf{\omega}$ vhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako $ω x,ω y,ω z$ a složky průvodiče $\mathbf{r}_i$ jako $x i, y i, z i$ , můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření momentu setrvačnosti $J$ pak lze získat

L x = ω x J x - ω y D x y - ω z D z x

L y = ω y J y - ω z D y z - ω x D x y

L z = ω z J z - ω x D z x - ω y D y z

kde $J i$ jsou momenty setrvačnosti k $i$ -té ose a $D i j$ jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

L 1 = J 1 ω 1

L 2 = J 2 ω 2

L 3 = J 3 ω 3

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

$\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}$

[editovat] Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls $\mathbf{b}$

$\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}$

Pokud je silový moment $\mathbf{M}$ po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

$\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)$

[editovat] Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu stejný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Pojem momentu hybnosti je analogický pojmu hybnosti: tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

[editovat] Součet momentů hybnosti vnitřních sil

Součet momentů hybnosti vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil: $\mathbf{M}_i$ je moment hybnosti $i$ -tého bodu. Mezi $i$ -tým a $j$ -tým bodem působí síla $\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}$ . Celkový moment hybnosti vnitřních sil je $\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}$ . Uvažujme nyní pouze interakci $i$ -tého a $j$ -tého bodu: $\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}$ ,

kde $\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j$ je spojnice $i$ -tého a $j$ -tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

[editovat] Související články

Tento fyzikální článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Mechanika

Moment hybnosti v jiných jazycích: العربية, Български, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Euskara, Suomi, Français, Gaeilge, Galego, עברית, Hrvatski, Magyar, Bahasa Indonesia, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Bahasa Melayu, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Shqip, Српски / Srpski, Svenska, தமிழ், Türkçe, Українська, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Moment_hybnosti“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 8. 2008 v 22:55.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).