Morerova věta

Morerova věta je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.

Obsah

1 Přesné znění
2 Důkaz
3 Důsledky
4 Související články
5 Reference
6 Vnější odkazy

[editovat] Přesné znění

Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník $\Delta\subseteq G$ je $\oint_{\part\Delta}f=0$ , kde $\part\Delta$ je hranice trojúhelníku $\,\Delta$ .

[editovat] Důkaz

Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.

Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě $z_0\in G$ . Volme okolo $z 0$ kruh $K\subseteq G$ . Definujme na K funkci F vztahem

$F(z)=\oint_{\overline{z_0,z}}f$ , kde $\overline{z_0,z}(t)=z_0+(z-z_0)\cdot t;\;t\in <0,1>$ je parametrizace úsečky $\overline{z_0,z}.$

F díky předpokladu $\oint_{\part\Delta}f=0$ splňuje $\,F'=f$ na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v $z 0$ .

[editovat] Důsledky

Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.$

V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce

$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.$

[editovat] Související články

[editovat] Reference

Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

[editovat] Vnější odkazy

(en)Morerova věta na MathWorldu

Kategorie: Komplexní analýza | Matematické věty a důkazy

Morerova věta v jiných jazycích: Deutsch, English, Suomi, Italiano, Polski, Русский, Türkçe, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Morerova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 19. 9. 2008 v 12:09.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).