Morleyova věta o kategoričnosti

Morleyova věta o kategoričnosti je jednou z nejdůležitějších vět teorie modelů. Dokázal ji roku 1962 americký matematik Michael Darwin Morley ve své disertační práci s názvem „Categoricity in Power“. Tuto větu později zobecnil Saharon Shelah.

[editovat] Znění věty

[editovat] Kategorická teorie

Řekneme, že teorie T je kategorická v kardinalitě κ (κ-kategorická), jsou-li každé dva modely T mohutnosti κ izomorfní.

[editovat] Morleyova věta pro spočetný jazyk

Původní znění Morleyovy věty z roku 1962 je následující:

Nechť T je teorie v jazyce spočetné kardinality a nechť T je kategorická v nějaké nespočetné kardinalitě. Pak je T kategorická v každé nespočetné kardinalitě.

[editovat] Shelahovo zobecnění pro libovolný jazyk

Saharon Shelah zobecnil původní Morleyovu větu i na teorie s nespočetným jazykem:

Nechť T je teorie v jazyce kardinality λ a nechť T je kategorická v nějaké kardinalitě κ > λ. Pak T je kategorická v každé kardinalitě κ > λ.

[editovat] Příklady

• Teorie algebraicky uzavřených těles dané charakteristiky p (p=0 nebo prvočíslo) je kategorická v kardinalitě (viz funkce alef), tedy je podle Morleyovy věty kategorická v každé nespočetné kardinalitě, -kategorická však není.
• Teorie čisté rovnosti je kategorická ve všech (včetně konečných) kardinalitách.
• Teorie hustého lineárního uspořádání bez konců je -kategorická, ale není kategorická v žádné nespočené kardinalitě.
• Stejně tak teorie v jazyce obsahujícím jediný unární predikátový symbol E s axiomy

„existuje nekonečně mnoho x takových ,že E(x)“, „existuje nekonečně mnoho x takových, že “ je -kategorická, ale není kategorická v žádné nespočetné kardinalitě.

[editovat] Vlastnosti kategorických teorií

• Pokud je teorie kategorická v nějaké nekonečné kardinalitě a nemá konečné modely, pak je již úplná. To plyne z Löwenheim-Skolemovy věty.

[editovat] Související články

• Spektrum teorie
• Vaughtova věta