Největší společný dělitel

Největší společný dělitel (značený NSD, příp. gcd z anglického greatest common divisor) dvou celých čísel je největší číslo takové, že beze zbytku dělí obě čísla, tzn. největší číslo, jímž jsou obě čísla dělitelná. Například největší společný dělitel čísel 15 a 20 je 5 (číslo 5 dělí obě čísla, žádné větší číslo s touto vlastností už neexistuje; např. číslo 10 dělí druhé číslo, ale ne první).

Obecněji je možno hovořit o největším společném děliteli celé množiny čísel – tím je největší číslo takové, že beze zbytku dělí všechna čísla v množině.

[editovat] Definice

NSD(a, b) = max { n ∈ N: n | a a zároveň n | b }

[editovat] Vlastnosti

• Určení největšího společného dělitele je reflexivní, asociativní i komutativní operace:

  NSD(a, a) = a

  NSD(NSD(a, b), c) = NSD(a, NSD(b, c))

  NSD(a, b) = NSD(b, a)

• Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

  NSD(a, b) · nsn(a, b) = a · b

[editovat] Výpočet

Největšího společného dělitele dvou čísel (a díky asociativitě i libovolně mnoha) lze určit prostřednictvím prvočíselného rozkladu obou čísel: Nechť je prvočíselný rozklad a a prvočíselný rozklad b. Pak

.

Tento výpočet je snadno pochopitelný, ale v praxi zcela nepoužitelný s výjimkou velice malých čísel, neboť získání rozkladu na prvočísla je extrémně náročná operace.

Pro praktické výpočty slouží výrazně rychlejší algoritmy, hlavně tzv. Euklidův algoritmus.

[editovat] Související články

• Nejmenší společný násobek

[editovat] Externí odkazy

• Největší společný dělitel: http://www.maths.cz/…