Norma (matematika)

Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Obsah

1 Definice
2 Příklady
3 Vlastnosti
4 Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny
5 Související články

[editovat] Definice

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

[editovat] Příklady

Každá norma je seminorma.
Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.

[editovat] Eukleidovská norma

Na prostoru $\mathbb{R}^n$ lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x₁, x₂, ..., x_n) jako

$\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.$

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

[editovat] p-norma

Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.

$\|\emph{\textbf{x}}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}.$

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

[editovat] Maximová norma

$\|\emph{\textbf{x}}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).$

[editovat] Norma na prostoru se skalárním součinem

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

$\|x\| := \sqrt{(x,x)}.$

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

$|(x,y)| \leq \|x\| \, \|y\|.$

[editovat] Vlastnosti

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||_α and ||•||_β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísle C a D taková, že

$C\|x\|_\alpha\leq\|x\|_\beta\leq D\|x\|_\alpha$

pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||₁, ||•||₂ a ||•||_∞ jsou ekvivalentní na prostoru $\mathbb{R}^n$ :

$\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2,$

$\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty,$

$\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty.$

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

[editovat] Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μ_C známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

$\mu_C(x) := \inf\{\alpha : \alpha > 0, x \in \alpha C\}.$

Pro tuto seminormu platí

$\{x : \mu_C(x) < 1\} \subseteq C \subseteq \{x : \mu_C(x) \leq 1\}.$

[editovat] Související články

Kategorie: Lineární algebra

Norma (matematika) v jiných jazycích: Català, Dansk, English, Esperanto, Español, Suomi, Français, עברית, Magyar, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Nederlands, Português, Русский, Svenska, اردو, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematika)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 16. 10. 2008 v 21:01.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).