Nutná a postačující podmínka

Mějme dvě věty, které označíme A a B.

[editovat] Nutná podmínka

Větu A označíme jako nutnou podmínku věty B, je-li věta A pravdivá vždy, když je pravdivá věta B. Můžeme zapsat pomocí implikace .

[editovat] Postačující podmínka

Větu A označíme jako postačující podmínku věty B, pokud je věta B pravdivá vždy, je-li pravdivá věta A. Můžeme zapsat pomocí implikace .

[editovat] Nutná a postačující podmínka

Věta A je nutnou a postačující podmínkou věty B, jsou-li věty A a B současně obě pravdivé nebo obě nepravdivé. Podmínka je nutná a postačující tehdy, je-li současně nutná i postačující. Tuto podmínku obvykle vyjadřujeme slovy, že A platí tehdy a pouze tehdy, pokud platí B. Zapisujeme .

[editovat] Příklad

Nutnou podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné 6 je, že číslo musí být sudé. V tomto případě je podmínkou, že číslo je sudé (tzn. věta A). Číslo je dělitelné 6 představuje větu B. Avšak každé číslo dělitelné 6 je také dělitelné 2, tedy je sudé. Tzn. pokud je splněna věta B (číslo je dělitelné 6), je vždy splněna věta A (číslo je sudé). Věta A (číslo je sudé) je tedy nutnou podmínkou věty B (číslo je dělitelné 6). Každé sudé číslo však nemusí být dělitelné číslem 6 (např. číslo 4). Pokud je tedy splněna věta A (číslo je sudé), nemusí být splněna věta B (číslo je dělitelné 6). Věta A tedy není postačující podmínkou věty B.

Postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné 6 může být např. podmínka, že číslo musí být dělitelné 12. Číslo je dělitelné 12 představuje větu A, a číslo je dělitelné 6 větu B. Každé číslo dělitelné 12 je také dělitelné 6, tzn. pokud je splněna věta A (číslo je dělitelné 12), je splněna také věta B (číslo je dělitelné 6). Věta A je tedy postačující podmínkou věty B. Je-li však splněna věta B (číslo je dělitelné 6), nemusí být splněna věta A (číslo je dělitelné 12). Takovými čísly jsou např. 6, 18 atd. Věta A tedy není nutnou podmínkou věty B.

Nutnou a postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné 6 je, aby číslo bylo sudé a dělitelné 3. Podmínkou (větou A) je zde, že číslo musí být sudé a dělitelné 3, číslo je dělitelné 6 je věta B. Je-li číslo dělitelné 2 i 3, pak je také dělitelné 6. Současně platí, že číslo dělitelné 6, je dělitelné 2 a 3. Pokud tedy platí věta A (číslo je sudé a dělitelné 3), musí platit také věta B (číslo je dělitelné 6). Věta A je tedy postačující podmínkou věty B. Platí-li však věta B (číslo je dělitelné 6), pak platí také věta A (číslo je sudé a dělitelné 3). Věta A je tedy také nutnou podmínkou věty B. Tzn. věta A je nutnou a postačující podmínkou věta B. Uvedenou podmínku můžeme slovně vyjádřit tak, že číslo je dělitelné 6 tehdy a pouze tehdy, je-li sudé a dělitelné 3.

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.