Obalová křivka

Obálka jednoparametrické soustavy křivek.

Obalovou křivkou (obálkou) jednoparametrické soustavy křivek se nazývá taková křivka $k$ , která se dotýká každé křivky z dané soustavy křivek a zároveň je každý její bod bodem dotyku s některou křivkou soustavy.

Původní signál (modře) a jeho obálka (červeně).

V elektronice a zpracování signálů se obalovou křivkou signálu rozumí křivka obalující původní vysokofrekvenční signál. Příkladem může být amplitudová modulace (s potlačenou nosnou), kde lze obálku signálu získat demodulací (např. krystalkou).

[editovat] Rovnice obálky soustavy křivek

Jednoparametrickou soustavu rovinných křivek lze zapsat rovnicí

F (x, y, z) = 0

přičemž funkce $F$ je spojitou funkcí proměnných $x, y, c$ pro $[x,y]\in\Omega$ , kde $Ω$ je oblast roviny $x y$ , a pro $c\in\mathbf{I}$ , kde $\mathbf{I}$ je určitý interval. Volbou parametru $c$ lze získat určitou konkrétní rovinnou křivku, přičemž se předpokládá, že různým hodnotám $c$ odpovídají různé křivky.

Jestliže v okolí bodu $[x 0, y 0, c 0]$ má funkce F(x,y,c) spojité parciální derivace $\frac{\part F}{\part x}, \frac{\part F}{\part y}, \frac{\part F}{\part c}, \frac{\part^2 F}{\part c\part x}, \frac{\part^2 F}{\part c\part y}, \frac{\part^2 F}{\part c^2}$ a jsou v tomto bodě splněny rovnice

F (x 0, y 0, c 0) = 0

$\frac{\part F}{\part c}(x_0,y_0,c_0) = 0$

$\frac{\part^2 F}{\part c^2} \neq 0$

$\begin{vmatrix} \frac{\part F}{\part x} & \frac{\part F}{\part y} \\ \frac{\part^2 F}{\part c\part x} & \frac{\part^2 F}{\part c\part y} \end{vmatrix} \neq 0$

pak v určitém okolí bodu $[x 0, y 0]$ a pro $c$ z okolí bodu $c 0$ existuje obálka soustavy $F (x, y, c) = 0$ .

Rovnici této obálky lze získat z rovnic

F (x, y, c) = 0

$\frac{\part F}{\part c}(x,y,c)=0$

Proměnnou $c$ vyjádříme z druhé rovnice prostřednictvím proměnných $x, y$ (nebo můžeme vyjádřit $x, y$ pomocí $c$ ) a dosadíme do první rovnice, tzn.

F (x, y, c (x, y)) = 0

Pokud není některá z přechozích podmínek splněna, pak uvedená rovnice nemusí být obálkou dané soustavy křivek.

[editovat] Související články

Křivka

Kategorie: Křivky

Obalová křivka v jiných jazycích: Deutsch, English, Français, Italiano, 日本語, Nederlands, Русский, Svenska, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Obalov%C3%A1_k%C5%99ivka“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 20. 9. 2008 v 12:01.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).