Okruh (algebra)

Okruh (ozn. R, angl. ring) je v algebraická struktura, která má oproti grupě navíc další operaci.

Obsah

1 Definice okruhu
2 Vlastnosti
3 Příklady okruhů
4 Podokruh
5 Související články
6 Externí odkazy

[editovat] Definice okruhu

Množinu $\mathcal{M}$ s binárními operacemi + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) nazveme okruhem, platí-li pro každé $x, y, z \in \mathcal{M}$ následující axiomy:

$x + y \in \mathcal{M}$ , $x \cdot y \in \mathcal{M}$ (uzavřenost pro + a $\cdot$ )
$x + y = y + x$ (komutativita +)
$(x + y) + z = x + (y + z)$ (asociativita +)
$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ (asociativita $\cdot$ )
existuje $0$ tak, že $x + 0 = 0 + x = x$ (nulový prvek)
pro každé $y$ existuje $x$ tak, že $x + y = 0 = y + x$ , značíme $x = - y$ (inverzní prvek)

$x \cdot (y + z) = x\cdot y + x \cdot z$ (distributivita $\cdot$ )
$(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ (distributivita $\cdot$ )

[editovat] Vlastnosti

Okruh s operací +, $(\mathcal{M}, +)$ , je Abelova grupa. Okruh s operací $\cdot$ , $(\mathcal{M}, \cdot)$ , je monoid (pologrupa).

Speciálním případem okruhu, který navíc přináší existenci inverzního prvku vůči operaci $\cdot$ a neutrálního prvku vůči operaci $\cdot$ , je těleso. Speciálním případem okruhu, který navíc přináší neexistenci netriviálního dělitele nuly je obor integrity.

[editovat] Příklady okruhů

Množina celých čísel $\mathbb{Z}$
Lineární zobrazení na $\mathbb{R}^n$ s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splňen předpoklad distributivity skládání.

[editovat] Podokruh

Máme-li okruh (R,+,.) a S je neprázdná podmnožina R

je (S,+,.) podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí: $a + b \in \mathcal{S}$ a zároveň $a \cdot b \in \mathcal{S}$
pokud je S konečná, pak (S,+,.) je podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí $a + b \in \mathcal{S}$ a zároveň $a \cdot b \in \mathcal{S}$

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Kategorie: Algebraické struktury

Okruh (algebra) v jiných jazycích: العربية, Bosanski, Català, Чăвашла, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Italiano, 日本語, 한국어, Lumbaart, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Novial, Polski, Piemontèis, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, தமிழ், ไทย, Türkçe, Українська, Tiếng Việt, West-Vlams, 吴语, 中文, 文言

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Okruh_(algebra)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 29. 9. 2008 v 12:35.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).