Oktonion

V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimensionální algebru nad reálnými čísly.

Oktoniony tvoří poslední a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením| (též nazývané Hurwitzovy algebry). Je velmi překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: Reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním Lieovým grupám typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. výlučným Lieovým grupám typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada teoretických fyziků proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové.^[1]

Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané, než kvaterniony.

Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané komutátor a asociátor.

[editovat] Historie

Oktoniony byly popsány v roce 1843 Johnem T. Gravesem, nezávisle na něm je publikoval i Arthur Cayley v roce 1845. Proto jsou někdy nazývány Cayleyova čísla.

[editovat] Definice

Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel, pro které je však - na rozdíl od vektorů - definována vzájemně jednoznačná a invertibilní operace dělení. Každý oktonion je lineární kombinací jednotek, kterými jsou 1, i, j, k, l, li, lj, lk. Oktonion x se dá tedy zapsat ve tvaru

x = x₀ + x₁ i + x₂ j + x₃ k + x₄ l + x₅ li + x₆ lj + x₇ lk.

kde x_a jsou reálná čísla.

Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky.

[editovat] Vlastnosti

Násobení oktonionů není ani komutativní:

ij = −ji ≠ ji

ani asociativní:

(ij)l = −i(jl) ≠ i(jl)

[editovat] Související články

• Hyperkomplexní číslo
• Kvaternion

[editovat] Odkazy

1. ↑ J. Baez: The Octonions. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Errata in Bull Amer. Math. Soc. 42 (2005), 213. On-line: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/