Otevřená množina

Množina M topologického prostoru je otevřená, pokud s každým bodem X, který do ní patří, patří do této množiny i jeho okolí O(x). Otevřená množina není opak uzavřené. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené, nebo množiny, které nejsou ani uzavřené, ani otevřené.

Obsah

1 Definice
- 1.1 Topologické prostory
- 1.2 Metrické prostory
2 Vlastnosti otevřených množin
3 Použití otevřených množin
4 Související články
5 Reference
6 Literatura

[editovat] Definice

Bod X se nazývá vnitřním bodem množiny M, jestliže X∈M a existuje nějaké okolí O(X) bodu X ležící celé v množině M, tj. O(X)⊆M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M a označuje M^o. Je-li množina M totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny M vnitřní, je M množina otevřená^[1].

[editovat] Topologické prostory

Při definici topologických prostorů je otevřená množina základní pojem. Začne se s libovolnou množinou $X$ a souborem jejích podmnožin $τ$ , které splňují všechny vlastnosti, které by otevřené množiny měly mít. (Sjednocení libovolného počtu a průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená množina, navíc prázdná množina a X jsou otevřené.) Takový soubor podmnožin $τ$ se nazývá topologie na $X$ a společně definují topologický prostor $(X,τ)$ . Otevřené množiny jsou pak právě prvky topologie $τ$ .

[editovat] Metrické prostory

Každý metrický prostor $X$ s metrikou $d$ je topologický prostor s topologií generovanou metrikou. (Topologii generuje množina všech otevřených koulí $U(x,r) = \{y \in X; d(x,y) <r\}$ .) V této topologii můžeme otevřenou množinu definovat intuitivnějším způsobem.

Podmnožina $A$ metrického prostoru $X$ je otevřená, pokud pro každý její bod $x$ existuje koule se středem v $x$ , která celá leží v $A$ . Tedy pro každý bod $x \in A$ existuje $ε > 0$ tak, že každé $y \in X \quad d(x, y) < \epsilon$ leží v $A$ .

[editovat] Vlastnosti otevřených množin

Sjednocení libovolného počtu otevřených množin je otevřená.

Průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou otevřené.

[editovat] Použití otevřených množin

Otevřené množiny se používají k definici obecnějších pojmů, k definicím limit posloupností, spojitosti, kompaktnosti apod.

Pro každou množinu topologického prostoru existuje její největší otevřená podmnožina, která se nazývá vnitřek.

Spojité zobrazení je takové, pokud vzory otevřených množin jsou otevřené.

[editovat] Související články

[editovat] Reference

↑ Inženýrská matematika 1.2 Základní topologické pojmy

[editovat] Literatura

Rn jako metrický a lineární prostor

Kategorie: Topologie

Otevřená množina v jiných jazycích: العربية, Български, Català, Deutsch, English, Esperanto, Español, Suomi, Français, עברית, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Slovenčina, Српски / Srpski, Svenska, Українська, Tiếng Việt, 中文, 文言

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Otev%C5%99en%C3%A1_mno%C5%BEina“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 16. 10. 2008 v 14:35.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).