Interval (matematika)

V matematice se jako interval označuje množina reálných čísel, které leží mezi dvěma určenými čísly, která se označují jako meze intervalu. Např. interval „(10;20)“ popisuje množinu reálných čísel mezi 10 a 20, bez těchto čísel. Interval „<10;20>“ pak označuje množinu reálných čísel mezi 10 a 20, včetně těchto čísel. (Podrobnosti viz níže.)

Obecně je v abstraktní matematice interval definován jako podmnožina S nějaké lineárně uspořádané množiny T, pro kterou platí, že kdykoli x, y ∈ S a x < z < y, pak z ∈ S. Výše uvedená definice pak je důležitým speciálním případem s T = R.

[editovat] Typy intervalů

Intervaly reálných čísel mohou mít jeden z následujících tvarů (a, b jsou reálná čísla, kde a < b):

1. (a,b) = { x | a < x < b }
2. <a,b> = { x | a ≤ x ≤ b }
3. <a,b) = { x | a ≤ x < b }
4. (a,b> = { x | a < x ≤ b }
5. (a,∞) = { x | a < x }
6. <a,∞) = { x | a ≤ x }
7. (−∞,b) = { x | x < b }
8. (−∞,b> = { x | x ≤ b }
9. (−∞,∞) = R, celá množina reálných čísel
10. {a} v případě <a,a>
11. prázdná množina v případě (a,a), popř. když je levá mez vyšší než pravá.

Intervaly (1), (5), (7), (9), (11) se označují jako otevřené intervaly (protože jsou to otevřené množiny), intervaly (2), (6), (8), (9), (10), (11) jsou uzavřené intervaly (protože jsou to uzavřené množiny). Intervaly (3) a (4) se někdy označují jako polootevřené či polouzavřené nebo též zleva/zprava otevřené/uzavřené.

[editovat] Intervalová aritmetika

Intervalovou matematiku představil v roce 1956 M. Warmus. Tato aritmetika definuje operace nad intervaly tak, že

A ⊕ B = { x | ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = y ⊕ z }

Pro běžné operace to znamená:

• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• (a,b) − (c,d) = (a−d, b−c)
• (a,b) ⋅ (c,d) = (min {ac, ad, bc, bd}, max {ac, ad, bc, bd})
• (a,b) : (c,d) = (min {a:c, a:d, b:c, b:d}, max {a:c, a:d, b:c, b:d})

Dělení intervalem, který obsahuje nulu není definováno. Sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a poddistributivní (množina X (Y + Z) je podmnožinou XY + XZ).

[editovat] Alternativní značení

Místo kulatých a špičatých závorek se v cizojazyčné litetatuře objevují buď kulaté a hranaté (zvláště v anglicky psaných knihách) nebo hranaté závorky [a;b] pro uzavřené a ]a;b[ pro otevřené intervaly (zvláště ve francouzské literatuře).

[editovat] Související články

• Úsečka