Přirozené číslo

Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice rozumí kladné celé číslo (1, 2, 3, …) (Někdy se nula mezi přirozená čísla počítá, což však vede k některým potížím v teorii čísel.) Tato čísla se označují jako přirozená, neboť se dají používat pro počet nějakých předmětů (viz též kardinální číslo), nebo vyjadřování pořadí (viz též ordinální číslo). Jsou také nejjednodušší na pochopení, takže výuka matematiky obvykle začíná u přirozených čísel.

[editovat] Značení

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmem ). Pokud je třeba upřesnit, jestli se do této množiny řadí i nula, používá se označení

• N⁺, resp. , nebo
• Z⁺, resp.

pro kladná čísla, tzn. čísla bez nuly, a

• N⁰, resp. , nebo
• Z⁺₀, resp.

pro nezáporná čísla, tzn. čísla včetně nuly.

[editovat] Formální definice

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):

• Existuje číslo 0.
• Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
• Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
• Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud a ≠ b, pak S(a) ≠ S(b).
• Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému přirozenému číslu nula. 0 znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

[editovat] Konstrukce

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v teorii množin je následující postup:

• Definujeme 0 = {}.
• Definujeme S(a) = a ∪ {a} pro všechna a.
• Množinu přirozených čísel pak definujeme jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

• 0 = {}
• 1 = {0} = {{}}
• 2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
• 3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
• …atd.

Tato definice je zcela intuitivní v tom smyslu, že každé přirozené číslo n je množinou o právě n prvcích.

[editovat] Vlastnosti

• Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
• Na přirozených číslech můžeme definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tzn. následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
• Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
• Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy a ≤ b právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
• Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.