Parabola (matematika)

Parabola

Parabola je druh kuželosečky, rovinné křivky druhého stupně. Parabola je množina těch bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky (tzv. řídicí přímka nebo také direktrix) jako od daného bodu (tzv. ohnisko).

Obsah

1 Vlastnosti, vyjádření
- 1.1 Matematická vyjádření
  - 1.1.1 Kartézský souřadnicový systém
  - 1.1.2 Polární souřadnicový systém
2 Parabola ve skutečném světě
3 Související články
4 Externí odkaz

[editovat] Vlastnosti, vyjádření

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou si podobné. Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Parabola je osově symetrická. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne těleso označované jako (rotační) paraboloid.

Parabola je kruhovou inverzí kardiody.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou $x$ nebo $y$ .

[editovat] Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

$\| XF \| = \| Xd \| \,\!$

Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

[editovat] Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis paraboly:

Parabola v kartezském souřadnicovém systému

V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, n
F – ohnisko paraboly
d – řídicí přímka
o – osa paraboly
|DF| = p – velikost parametru, $p > 0 \,\!$
$|DV| = |FV| = {p\over 2} \,\!$
X[x, y] – libovolný bod náležící parabole

[editovat] Kanonický tvar rovnice

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou $x$ a vrchol $V = [x 0, y 0]$ ) v kartézských souřadnicích je

${(y-y_0)}^2 = 2p(x-x_0)$

Pro $p > 0$ je parabola otevřená doprava a pro $p < 0$ je parabola otevřená doleva. Pro $x 0 = 0, y 0 = 0$ dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

$\left[x_0+\frac{p}{2},y_0\right]$

a řídicí přímka je určena rovnicí

$x=x_0-\frac{p}{2}$

Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose $y$ a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

x 2 = 2 p y

Pro $p > 0$ je parabola otevřená nahoru a pro $p < 0$ je otevřená dolů.

[editovat] Rovnice kuželosečky

Jestliže v rovnici kuželosečky položíme $a 11 = a 12 = 0$ a $a_{13}a_{22}\neq 0$ , pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou $x$ ), která má řídicí přímku

$x = \frac{a_{23}^2+a_{13}^2-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}$

ohnisko má souřadnice

$F = \left[\frac{a_{23}^2-a_{13}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]$

a souřadnice vrcholu jsou

$V = \left[\frac{a_{23}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]$

Parametr má velikost

$|p| = \left|\frac{a_{13}}{a_{22}}\right|$

Podobně v případě $a 12 = a 22 = 0$ a $a_{11}a_{23}\neq 0$ dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou $y$ ). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme

$y = \frac{a_{13}^2+a_{23}^2-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}$

$F = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{23}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]$

$V = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]$

$|p| = \left|\frac{a_{23}}{a_{11}}\right|$

Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel $α$ určený vztahem

$\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$

[editovat] Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístění

Osa paraboly $o$ rovnoběžná s osou $x$ mající minimum(bod V) na ose $x$ .

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy x

Vrcholová rovnice:

$(y - n)^2 = 2p(x - m) \,\!$

Parametrické rovnice:

$x = {p\over 2}t^2 + m \,\!$

$y = pt + n \,\!$

Obecná rovnice:

$y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0 \,\!$

Rovnice řídicí přímky:

$x = m - {p\over 2} \,\!$

Rovnice tečny v bodě $T [x 0, y 0]$ :

$(y - n)(y_0 - n) = p(x + x_0 - 2m) \,\!$

Osa paraboly $o$ rovnoběžná s osou $x$ mající maximum(bod V) na ose $x$ .

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozevirající se do záporné části osy x

Vrcholová rovnice:

$(y - n)^2 = -2p(x - m) \,\!$

Parametrické rovnice:

$x = -{p\over 2}t^2 + m \,\!$

$y = -pt + n \,\!$

Obecná rovnice:

$y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0$

Rovnice řídicí přímky:

$x = m + {p\over 2} \,\!$

Rovnice tečny v bodě $T [x 0, y 0]$ :

$(y - n)(y_0 - n) = -p(x + x_0 - 2m) \,\!$

Osa paraboly $o$ rovnoběžná s osou $y$ mající minimum. Konvexní parabola.

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy y

Vrcholová rovnice:

$(x - m)^2 = 2p(y - n) \,\!$

Parametrické rovnice:

$x = pt + m \,\!$

$y = {p\over 2}t^2 + n \,\!$

Obecná rovnice:

$x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0$

Rovnice řídicí přímky:

$y = n - {p\over 2} \,\!$

Rovnice tečny v bodě $T [x 0, y 0]$ :

$(x - m)(x_0 - m) = p(y + y_0 - 2n) \,\!$

Osa paraboly $o$ rovnoběžná s osou $y$ mající maximum. Konkávní parabola.

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do záporné části osy y

Vrcholová rovnice:

$(x - m)^2 = -2p(y - n) \,\!$

Parametrické rovnice:

$x = -pt + m \,\!$

$y = -{p\over 2}t^2 + n \,\!$

Obecná rovnice:

$x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0$

Rovnice řídicí přímky:

$y = n + {p\over 2} \,\!$

Rovnice tečny v bodě $T [x 0, y 0]$ :

$(x - m)(x_0 - m) = -p(y + y_0 - 2n) \,\!$

[editovat] Převedení obecné rovnice na vrcholovou

Uspořádáme členy v rovnici.

$2x^2 + 3x + 5y + 8 = 0 \,\!$

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.

$2\left[(x + {3 \over 4})^2 - {9 \over 16}\right] = -5y - 8 \,\!$

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.

$2(x + {3 \over 4})^2 - {9\over 8} = -5y - 8 \,\!$

$(x + {3 \over 4})^2 = -{55 \over 16} - {5\over 2}y \,\!$

$(x + {3 \over 4})^2 = -{5\over 2}(y + {11 \over 8}) \,\!$

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly.
Jedná se o parabolu, jejíž osa $o$ je rovnoběžná se záporným směrem osy $y$ .
$p = {5 \over 4} \,\!$ , $V\left[-{3 \over 4}, -{11 \over 8}\right] \,\!$ , $F\left[-{3 \over 4}, -2\right] \,\!$ , $D\left[-{3 \over 4}, -{3 \over 4}\right] \,\!$ , d: $y = -{3 \over 4} \,\! \,\!$

[editovat] Vzájemná poloha paraboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic paraboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která má řešení - přímka je sečnou paraboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna (žádný společný bod). Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant $D$ je:

D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
D < 0 žádné řešení - přímka není sečna

[editovat] Vzájemná poloha paraboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější oblasti paraboly
výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní oblasti paraboly

[editovat] Polární souřadnicový systém

Pro pararabolu s ohniskem v počátku souřadnicového systému a s vrcholem v záporné části hlavní osy x, platí rovnice:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

kde $l$ je polovina tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku $F$ . U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.

Jestliže v počátku souřadnicové soustavy leží vrchol paraboly a polární osa splývá s osou paraboly, pak má rovnice paraboly tvar

$\rho = 2p\cos\varphi(1-\operatorname{cotg}^2 \varphi)$

[editovat] Parabola ve skutečném světě

Trajektorií tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. Při započítání vlivu odporu vzduchu se tělesa pohybují po tzv. balistické křivce, viz volný pád.

Po parabole se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho rychlost přesně rovna únikové rychlosti a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé komety, jsou velmi blízké parabolám.

Pokud se paprsek přicházející do paraboly (či paraboloidu) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí parabolická zrcadla a antény (např. v reflektorech automobilů, dalekohledech, satelitních anténách apod.).

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkaz

Parabola v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Kuželosečky
Parabola • Elipsa • Kružnice • Hyperbola

Kategorie: Rovinné geometrické útvary | Křivky

Parabola (matematika) v jiných jazycích: Afrikaans, العربية, Беларуская, Български, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Eesti, Suomi, Français, Gàidhlig, Galego, עברית, हिन्दी, Magyar, Bahasa Indonesia, Íslenska, Italiano, 日本語, ភាសាខ្មែរ, 한국어, Lietuvių, മലയാളം, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Srpskohrvatski / Српскохрватски, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Türkçe, Українська, Tiếng Việt, ייִדיש, 中文, 文言

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Parabola_(matematika)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 14. 11. 2008 v 16:50.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).