Základní forma plochy

(Přesměrováno z Parabolický bod, přímý odkaz na Základní forma plochy)

Základní forma plochy je kvadratická diferenciální forma, která v diferenciální geometrii umožňuje určit vlastnosti plochy.

Rozlišuje se první a druhá základní forma plochy.

Výrazy "první" a "druhá" nemají význam časové posloupnosti nebo obecné důležitosti. Slovem první se myslí, že z dané první základní formy lze vypočítat některé vlastnosti plochy, které nezávisejí na způsobu jakým je tato plocha vložena do třírozměrného prostoru. Např. pokud budeme považovat list papíru za plochu, tak existují veličiny, které nezávisejí na tom, jakým způsobem budeme ohýbat tento list, pokud jej nebudeme i napínat. Tyto veličiny lze vypočítat pomocí první základní formy plochy. Jde např. o Gaussovu křivost. Naopak druhá základní forma plochy umožnuje vypočítat veličiny podle nichž z našeho hlediska dochází k ohýbání listu papíru. Příkladem může být např. střední křivost plochy nebo normálová křivost. V souvislosti s první a druhou základní formou plochy (nebo prvním a druhým základním tenzorem plochy) se často hovoří a píše o vnitřní a vnější geometrii plochy. Gaussův objev vnitřních vlastností plochy je považován za jeden z nejdůležitějších a nejkrásnějších objevů v matematice, který ospravedlnil riemannovskou geometrii a pojem Riemannova prostoru. Tato Gaussova věta se latinsky nazývá Theorema egregium (tj. vynikajicí poučka).

[editovat] První základní forma plochy

První základní form plochy je volba skalárního součinu na tečném prostoru v každém bodě plochy (někdy se nazývá metrika). Umožňuje nám měřit úhly a velikosti vektorů na ploše.

V dalším předpokládejme, že plocha je definována obrazem funkce $\mathbf{r}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ a označme složky vektorové funkce $\mathbf{r}$ $r x, r y$ , a $r z$ . Nechť metrika na ploše je restrikcí standardní metriky $d x 2 + d y 2 + d z 2$ v Euklidovském prostoru $\mathbb{R}^3$ . V tomto případě je první fundamentální forma jenom restrikcí euklidovské metriky $g = d x 2 + d y 2 + d z 2$ na plochu.

V souřadnicích (u,v) je to tedy pullback euklidovské metriky $r * (g)$ . V souřadnicích $E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2$ , kde $E, F, G$ jsou tzv. (Gaussovy) základní veličiny plochy prvního řádu dané vztahy

$E = {\left(\frac{\part r_x}{\part u}\right)}^2 + {\left(\frac{\part r_y}{\part u}\right)}^2 + {\left(\frac{\part r_z}{\part u}\right)}^2$

$F = \frac{\part r_x}{\part u}\frac{\part r_x}{\part v} + \frac{\part r_y}{\part u}\frac{\part r_y}{\part v} + \frac{\part r_z}{\part u}\frac{\part r_z}{\part v}$

$G = {\left(\frac{\part r_x}{\part v}\right)}^2 + {\left(\frac{\part r_y}{\part v}\right)}^2 + {\left(\frac{\part r_z}{\part v}\right)}^2$

Veličina $d s$ bývá označována jako lineární element (prvek, element oblouku) křivky $u = u (t), v = v (t)$ na dané ploše.

Pro úhel $\varphi$ dvou křivek $u = u (t), v = v (t)$ a $\overline{u}=\overline{u}(t), \overline{v}=\overline{v}(t)$ na ploše $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ platí

$\cos\varphi = \frac{E\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\overline{u}}{\mathrm{d}t} + F\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\overline{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\overline{u}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) + G\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\overline{v}}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{E{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + 2F\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + G{\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{E{\left(\frac{\mathrm{d}\overline{u}}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + 2F\frac{\mathrm{d}\overline{u}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\overline{v}}{\mathrm{d}t} + G{\left(\frac{\mathrm{d}\overline{v}}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}$

Protínají-li se dvě křivky kolmo, pak splňují vztah

$(E\mathrm{d}u+F\mathrm{d}v)\mathrm{d}\overline{u} + (F\mathrm{d}u+G\mathrm{d}v)\mathrm{d}\overline{v} = 0$

Pro parametrické křivky plochy platí $d s 2 = G d v 2$ pro $u = konst.$ a $d s 2 = E d u 2$ pro $v = konst.$ .

Úhel parametrické $v$ -křivky s parametrickou $u$ -křivkou určují vztahy

$\cos\varphi = \frac{F}{\sqrt{EG}}$

$\sin\varphi = \frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt{EG}}$

Nutnou a postačující podmínkou, aby se parametrické křivky protínaly v každém bodě plochy pod pravým úhlem je platnost vztahu $F = 0$ ve všech bodech plochy.

[editovat] Druhá základní forma plochy

Mějme na ploše $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ křivku $u = u (s), v = v (s)$ , kde $s$ je oblouk této křivky. Podél této křivky platí

$-\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{n} = L\mathrm{d}u^2 + 2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v + N\mathrm{d}v^2$ ,

kde $\mathbf{n}$ je jednotkový vektor normály plochy a

$L = -\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\cdot\frac{\part \mathbf{n}}{\part u}$

$M = -\frac{1}{2}\left(\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\cdot\frac{\part \mathbf{n}}{\part v} + \frac{\part \mathbf{r}}{\part v}\cdot\frac{\part \mathbf{n}}{\part u}\right)$

$N = -\frac{\part \mathbf{r}}{\part v}\cdot\frac{\part \mathbf{n}}{\part v}$

Výraz $-\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{n} = L\mathrm{d}u^2 + 2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v + N\mathrm{d}v^2$ se nazývá druhá základní forma plochy a vztahy pro $L, M, N$ určují tzv. základní veličiny druhého řádu plochy.

Základní veličiny druhého řádu lze také určit ze vztahů

$L = \frac{\frac{\part^2 \mathbf{r}}{\part u^2}\cdot \left(\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\times\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\right)}{\sqrt{EG-F^2}}$

$M = \frac{\frac{\part^2 \mathbf{r}}{\part u\part v}\cdot\left(\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\times\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\right)}{\sqrt{EG-F^2}}$

$N = \frac{\frac{\part^2 \mathbf{r}}{\part v^2}\cdot\left(\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\times\frac{\part \mathbf{r}}{\part u}\right)}{\sqrt{EG-F^2}}$

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu.

Druhá základní plocha určuje tvar plochy vzhledem k tečné rovině v daném bodě.

Regulární body plochy lze rozdělit následujícím způsobem:

pro $L N - M 2 > 0$ se jedná o tzv. eliptický bod plochy
pro $L N - M 2 = 0$ se jedná o tzv. parabolický bod plochy
pro $L N - M 2 < 0$ se jedná o tzv. hyperbolický bod plochy

Eliptický bod

Parabolický bod

Hyperbolický bod

V okolí regulárního eliptického bodu $P$ plochy se plocha nachází na jedné straně tečné roviny plochy v bodě $P$ . V okolí regulárního hyperbolického bodu $P$ plochy se plocha nachází na obou stranách tečné roviny plochy v bodě P.

V eliptickém bodě $P$ protíná tečná rovina plochu v křivce, která má bod $P$ za dvojnásobný bod s komplexně sdruženými tečnami. V parabolickém bodě $P$ protíná tečná rovina plochu v křivce, která má bod $P$ za dvojnásobný bod s reálnými splývajícími tečnami. V hyperbolickém bodě $P$ protíná tečná rovina plochu v křivce, která má bod $P$ za dvojnásobný bod s reálnými různými tečnami.

Je-li plocha definována rovnicí $z = f (x, y)$ , pak v eliptickém bodě platí $f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0$ , v parabolickém bodě $f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0$ a v hyperbolickém bodě $f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0$ .

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Diferenciální geometrie

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1kladn%C3%AD_forma_plochy“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 12. 9. 2008 v 09:29.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).