Racionální funkce

(Přesměrováno z Parciální zlomky, přímý odkaz na Racionální funkce)

Racionální funkce stupně 2: y = (x²-3x-2)/(x²-4)

Funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru polynomu, tzn.

f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

se nazývá celistvá racionální funkce, popř. celá racionální funkce, nebo se také hovoří přímo o polynomu.

Polynom $f (x)$ je definován pro všechna $x \in (- \infty, +\infty)$ .

Funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru

$y = f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0}$ ,

kde $P$ je polynom stupně $n$ a $Q$ je polynom stupně $m$ (pro všechna $x$ , pro která $Q(x) \neq 0$ ), se nazývá racionální lomená funkce.

Je-li $n < m$ , pak se jedná o ryze racionální lomenou funkci.

Každou racionální funkci $f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}$ je (pro všechna $Q(x) \neq 0$ ) možno vyjádřit jako součet polynomu a ryze racionální lomené funkce, tzn.

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = g(x) + \frac{R(x)}{S(x)}$

pro všechna $S(x) \neq 0$ .

Celistvá racionální funkce je speciálním případem racionální lomenné funkce, který získáme položíme-li $Q (x) = 1$ .

[editovat] Parciální zlomky

Jako parciální zlomky označujeme racionální funkce, které lze vyjádřit ve tvaru

$\frac{A}{{(x - a)}^n}$ , pro $x \neq a$ , kde $A, a$ jsou reálná čísla a $n$ je přirozené číslo
$\frac{A x + B}{{(x^2 + p x + q)}^n}$ , pro $p 2 - 4 q < 0$ , kde $A, B, p, q$ jsou reálná čísla a $n$ je přirozené číslo.

Mějme reálný polynom $q (x)$ , který lze rozložit

$q(x) = a_n{(x - \alpha_1)}^{r_1} \cdots {(x - \alpha_n)}^{r_n} \cdot {(x^2 + p_1 x + q_1)}^{s_1} \cdots {(x^2 + p_m x + q_m)}^{s_m}$ ,

kde $p_i^2 - 4 q_i < 0$ pro všechna $i = 1,2,..., m$ . Takto rozložit lze každý reálný polynom – toto tvrzení je snadným důsledkem Základní věty algebry. Mějme dále reálný polynom $p (x)$ , jehož stupeň je nižší než stupeň polynomu $q (x)$ . Potom existuje rozklad

$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A_{1 r_1}}{{(x - \alpha_1)}^{r_1}} + \frac{A_{1 {r_1 - 1}}}{{(x - \alpha_1)}^{r_1 - 1}} + ... + \frac{A_{11}}{x - \alpha_1} + ... +$

$+ \frac{A_{n r_n}}{{(x - \alpha_n)}^{r_n}} + \frac{A_{n {r_n - 1}}}{{(x - \alpha_n)}^{r_n - 1}} + ... + \frac{A_{n1}}{x - \alpha_n} +$

$+ \frac{M_{1 s_1} x + N_{1 s_1}}{{(x^2 + p_1 x + q_1)}^{s_1}} + \frac{M_{1 {s_1 - 1}} x + N_{1 {s_1 - 1}}}{{(x^2 + p_1 x + q_1)}^{s_1 - 1}} + ... + \frac{M_{11} x + N_{11}}{x^2 + p_1 x + q_1} + ... +$

$+ \frac{M_{m s_m} x + N_{m s_m}}{{(x^2 + p_m x + q_m)}^{s_m}} + \frac{M_{m {s_m - 1}} x + N_{m {s_m - 1}}}{{(x^2 + p_m x + q_m)}^{s_m - 1}} + ... + \frac{M_{m1} x + N_{m1}}{x^2 + p_m x + q_m}$ ,

kde $A_{1 r_1}, ..., A_{11}, ..., A_{n r_n}, ..., A_{n1}, M_{1 s_1}, ..., M_{11}, ..., M_{m s_m}, ..., M_{m1}, N_{1 s_1}, ..., N_{11}, ..., N_{m s_m}, ..., N_{m1}$ jsou reálná čísla (koeficienty rozkladu), která jsou uvedeným rozkladem jednoznačně určena.

K určení koeficientů rozkladu používáme

metodu neurčitých součinitelů, která spočívá v tom, že obě strany vztahu rozkladu vynásobíme polynomem $g (x)$ a poté porovnáme koeficienty u stejných mocnin. Tyto koeficienty se musí rovnat, což umožňuje určit hodnoty koeficientů rozkladu.
metodu kořenových činitelů, která spočívá v tom, že obě strany vynásobíme polynomem $g (x)$ , a poté postupně dosazujeme kořeny polynomu $g (x)$ . Získáme tak soustavu rovnic, na jejímž základě lze určit koeficienty rozkladu.
kombinovanou metodu, která využívá obou předchozích postupů.

Rozklad na parciální zlomky našel uplatnění především při integraci racionálních funkcí.

[editovat] Racionální funkce dvou proměnných

Funkci $R$ nazveme racionální funkcí dvou proměnných, pokud ji lze vyjádřit jako

$R(x,y) = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ ,

kde $P, Q$ jsou polynomy proměnných $x, y$ .

Racionální funkci $R$ označujeme jako lichou vzhledem k proměnné $x$ , pokud splňuje podmínku

R ( - x, y) = - R (x, y)

Podobně říkáme, že $R$ je lichá racionální funkce vzhledem k proměnné $y$ , pokud platí

R (x, - y) = - R (x, y)

O racionální funkci $R$ říkáme, že je sudá vzhledem k proměnné $x$ , pokud platí

R ( - x, y) = R (x, y)

Podobně pro funkci sudou vzhledem k proměnné $y$ platí

R (x, - y) = R (x, y)

Racionální funkci $R$ označíme jako sudou vzhledem k dvojici svých proměnných, pokud platí

R ( - x, - y) = R (x, y)

[editovat] Související články

Kategorie: Matematické funkce | Algebra

Racionální funkce v jiných jazycích: Deutsch, English, Español, Français, Italiano, 日本語, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Racion%C3%A1ln%C3%AD_funkce#Parci.C3.A1ln.C3.AD_zlomky“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 27. 8. 2008 v 09:53.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).