Peanova aritmetika
Peanova aritmetika (PA) je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Je jednou z nejdůležitějších součástí matematické logiky — slouží například k důkazu slavných Gödelových vět o neúplnosti. Rozšiřuje axiomatiku Robinsonovy aritmetiky o axiomatické schéma indukce. Pojmenována je po italském matematikovi Giuseppem Peanovi.
[editovat] Axiomy
(PA) je teorie v jazyce aritmetiky. Jejími axiomy jsou axiomy (Q1)–(Q8) Robinsonovy aritmetiky a navíc všechny instance následujícího axiomatického schématu pro 
formuli jazyka aritmetiky:
(schéma indukce)
[editovat] Vlastnosti
- Peanova aritmetika je neúplná a dokonce rekurzivně nezúplnitelná teorie (tj. každá její nadteorie s rekurzivně zadanou množinou axiomů je neúplná). To je tvrzení první Gödelovy věty.
- Peanova aritmetika má
(viz funkce alef) různých úplných rozšíření. - Peanova aritmetika je nerozhodnutelná teorie.
- V Peanově aritmetice jsou nedokazatelná následující tvrzení:
- „Peanova aritmetika je bezesporná“. To říká druhá Gödelova věta.
- Goodsteinova věta
- Jisté silnější verze Ramseyovy věty.
- V Peanově aritmetice jsou dokazatelné všechny základní vlastnosti přirozených čísel jako jsou:
- komutativita a asociativita + a
- distributivita + vzhledem k
- linearita uspořádání
- existence a jednoznačnost dělení se zbytkem
- komutativita a asociativita + a
- V Peanově aritmetice je definovatelná funkce xy, o které jsou dokazatelné všechny její přirozené vlastnosti.
- V Peanově aritmetice lze vyjádřit základní pojmy logické syntaxe i sémantiky jako jsou dokazatelnost nebo bezespornost.
- Peanova aritmetika je ekvivalentní teorii konečných množin (tj. Zermelo-Fraenkelově teorii množin, v níž je axiom nekonečna nahrazen jeho negací).
- První Stoneův prostor Peanovy aritmetiky má mohutnost kontinua.
- Peanova aritmetika nemá spočetný saturovaný model.
[editovat] Související články
 |
Související články obsahuje Portál Matematika |
Kategorie: Matematická logika | Aritmetika