Hledat:

Invia.cz Eurovíkendy Kanárské ostrovy Dominikánská republika Madeira Last minute Vydělávejte peníze s INVIA.CZ
 

u, 08 Jan 2009 14:40:26 GMT Server: Apache X-Powered-By: PHP/5.2.4-2ubuntu5wm1 Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate Content-Language: cs Vary: Accept-Encoding,Cookie X-Vary-Options: Accept-Encoding;list-contains=gzip,Cookie;string-contains=cswikiToken;string-contains=cswikiLoggedOut;string-contains=cswiki_session;string-contains=centralauth_Token;string-contains=centralauth_Session;string-contains=centralauth_LoggedOut Last-Modified: Tue, 09 Dec 2008 21:13:31 GMT Content-Length: 26215 Content-Type: text/html; charset=utf-8 X-Cache: MISS from sq24.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from sq24.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq4.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq4.knams.wikimedia.org:80 Via: 1.0 sq24.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq29.knams.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq4.knams.wikimedia.org:80 (squid/2.6.STABLE21) Connection: close Peanovy axiomy - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Peanovy axiomy

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou \mathbb{N}_0. Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s \mathbb{N}_0. Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Obsah

[editovat] Znění axiomů

[editovat] Formální zápis

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

  • (\exists x) (\forall y)(y' \neq x)
  • (\forall x) (\exists y ) x' = y
  • (\forall x) (\forall y) (x' = y' \rightarrow x = y)
  • (\forall \varphi) (\varphi(0) \and (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow \varphi(x')) \rightarrow (\forall x)\,\varphi(x))

[editovat] Slovní zápis

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

  • 0 je přirozené číslo.
  • Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
  • Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
  • Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
  • Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

[editovat] Axiom indukce

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost \varphi. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud p je výrok závisející na n, tak:

\exists n' \in \mathbb{N}\ (p(n') \wedge (\forall n \in \langle n', +\infty) \cap \mathbb{N}\ (p(n) \implies p(n+1))) \implies \forall m \in \langle n',+\infty) \cap \mathbb{N}\ p(m).

Pokud je možné najít n' pro které platí výrok p a pokud pro výrok p platí pro n větší n', tak platí pro n + 1, potom výrok p platí pro každé m větší n'.

[editovat] Definice operací a uspořádání na přirozených číslech

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

  • Součet \,a+b definujeme indukcí podle druhého sčítance: \,a+0=a,\; a+b'=(a+b)' .
  • Součin a\cdot b definujeme indukcí podle druhého činitele: a\cdot 0=0,\; a\cdot b'= a \cdot b +a.
  • Relaci a\leq b definujeme formulí a\leq b \leftrightarrow (\exists c)(a+c=b).

[editovat] Přirozená čísla bez nuly

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika
 
u, 08 Jan 2009 14:40:26 GMT Server: Apache X-Powered-By: PHP/5.2.4-2ubuntu5wm1 Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate Content-Language: cs Vary: Accept-Encoding,Cookie X-Vary-Options: Accept-Encoding;list-contains=gzip,Cookie;string-contains=cswikiToken;string-contains=cswikiLoggedOut;string-contains=cswiki_session;string-contains=centralauth_Token;string-contains=centralauth_Session;string-contains=centralauth_LoggedOut Last-Modified: Tue, 09 Dec 2008 21:13:31 GMT Content-Length: 26215 Content-Type: text/html; charset=utf-8 X-Cache: MISS from sq24.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from sq24.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq4.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq4.knams.wikimedia.org:80 Via: 1.0 sq24.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq29.knams.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq4.knams.wikimedia.org:80 (squid/2.6.STABLE21) Connection: close Peanovy axiomy - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Peanovy axiomy v jiných jazycích: Català, Deutsch, English, Español, Suomi, Français, Magyar, Italiano, 日本語, 한국어, Piemontèis, Português, Русский, Slovenčina, Türkçe, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Peanovy_axiomy“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 9. 12. 2008 v 21:13.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).
Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy