Pentomino

Pojmem pentomino je označována skupina dvanácti rovinných útvarů vzniklých z pěti shodných čtverců a také soubor nejrůznějších úloh, her a hříček, které se k této skupině útvarů vztahují. Často jsou také jako pentomino označovány jednotlivé pentominové útvary ze skupiny.

[editovat] Pentominové útvary

Mezi pentomina se řadí dvanáct různých útvarů, které vzniknou poskládáním z pěti shodných čtverců. Čtverce se přitom nesmí překrývat a musí na sebe navazovat výhradně celými stranami. Dva útvary, které vzniknou jeden z druhého otočením nebo zobrazením v osové souměrnosti (tj. zrcadlovým převrácením) nejsou považovány za různé.

Výsledek je vidět na přiloženém obrázku.

Pentomina jsou označována velkými tiskacími písmeny, jak je rovněž vidět na obrázku.

Kdyby byly zrcadlové obrazy považovány za různá pentomina, jejich počet by byl 18, neboť T, V, I, X, U a W jsou osově souměrné a jejich zrcadlový obraz je shodný, takže pouze pro F, L, N, P, Y a Z by existovaly dvě různé verze.

Pokud budeme počítat, kolika způsoby lze jednotlivá pentomina zakreslit na čtverečkovaný papír (tj. kolik různých verzí vznikne otáčením a zrcadlovým převracením), dostáváme tyto počty:

• 8 pro L, N, P, F, Y - 4 otáčením a pak další 4 otáčením zrcadlového obrazu
• 4 pro Z - 2 otáčením a pak 2 otáčením zrcadlového obrazu
• 4 pro T, U, V, W - otáčením
• 2 pro I - otáčením
• 1 pro X

Příklad pro pentomino Y je vidět na následujícím obrázku:

[editovat] Hlavolamy související s pentominem

[editovat] Pokrytí obdélníku

Sada dvanácti pentomin, z nichž každé se skládá z pěti čtverců, dává dohromady 60 čtverců. S tímto počtem souvisí první sada hlavolamů, jejichž zadání je:

• Pokryjte dvanácti pentominovými útvary obdélník složený z 3x20 čtverečků tak, aby se žádná dvě pentomina nepřekrývala a aby byly pokryty všechny čtverečky.
• Pokryjte dvanácti pentominovými útvary obdélník složený z 4x15 čtverečků tak, aby se žádná dvě pentomina nepřekrývala a aby byly pokryty všechny čtverečky.
• Pokryjte dvanácti pentominovými útvary obdélník složený z 5x12 čtverečků tak, aby se žádná dvě pentomina nepřekrývala a aby byly pokryty všechny čtverečky.
• Pokryjte dvanácti pentominovými útvary obdélník složený z 6x10 čtverečků tak, aby se žádná dvě pentomina nepřekrývala a aby byly pokryty všechny čtverečky.

Příklady řešení jsou vidět na obrázku.

Zajímavý je počet řešení jednotlivých hlavolamů. Pokud budeme řešení, která vzniknou jedno z druhého pomocí zrcadlového překlápění nebo otočení, považovat za stejná (tj. nebudeme je počítat vícekrát):

• obdélník 6x10 má 2339 různých řešení
• obdélník 5x12 má 1010 různých řešení
• obdélník 4x15 má 368 různých řešení
• obdélník 3x20 má 2 různá řešení

Z toho je dobře vidět obtížnost jednotlivých hlavolamů.

[editovat] Pokrytí kvádru

Pokud budeme o jednotlivých pentominech uvažovat nikoliv jako o rovinných útvarech, ale jako o hranolech, které mají základnu ve tvaru některého pentomina a výšku stejnou, jako je strana čtverečků, ze kterých jsou pentomina složena, dostáváme tak dvanáct prostorových útvarů, které jsou tvořeny dohromady ze šedesáti krychlí.

Nabízí se tak druhá sada hlavolamů:

• Vyplňte dvanácti pentominovými útvary kvádr složený z 2x3x10 krychliček tak, aby byl vyplněn beze zbytku a pentomina se nepřekrývala.
• Vyplňte dvanácti pentominovými útvary kvádr složený z 2x5x6 krychliček tak, aby byl vyplněn beze zbytku a pentomina se nepřekrývala.
• Vyplňte dvanácti pentominovými útvary kvádr složený z 3x4x5 krychliček tak, aby byl vyplněn beze zbytku a pentomina se nepřekrývala.

Příklady řešení jsou uvedeny v následujících schématech, kde jsou jednotlivé kvádry zobrazeny „po patrech“:

2 x 3 x 10

 P P F N N W T U X U   V V V Z N N N U U U  
 P P F F W W T X X X   V Z Z Z Y I I I I I  
 P F F W W T T T X L   V Z Y Y Y Y L L L L 

2 x 5 x 6

 P P P N N N   P P L L L L  
 Y W N N X U   F F L Z Z U  
 Y W W X X X   V F F Z T U  
 Y Y W W X U   V F Z Z T U  
 Y I I I I I   V V V T T T  

3 x 4 x 5

 F F V V V   X F F P T   U F U P P   U U U P P  
 X N N N V   X L T T T   X L L L L   I I I I I  
 N N Z Z V   X W W Z T   W W Y Z Z   W Y Y Y Y  

[editovat] Hra pentomino

[editovat] Pravidla hry

Hra pentomino se hraje ve dvou hráčích na šachovnici (8x8 čtverců). Oba soupeři střídavě kladou na šachovnici kostky pentomina tak, aby jejich strany splývaly se stranami čtverců šachovnice (nesmí se tedy pokládat „napříč“ polemi šachovnice). Zároveň se žádná dvě položená pentomina nesmí překrývat a nesmí ani vyčnívat některým čtvercem ven ze šachovnice.

Vyhrává ten hráč, který položí pentomino na šachovnici tak, že soupeř již nemůže na šachovnici ze zbylých pentomin žádné přidat. Teoreticky může hra skončit i remízou, kdy jsou na šachovnici umístěna všechna pentomina (počet jejich čtverců je 60, počet čtverců šachovnice 64), ale je to vysoce nepravděpodobné a bez předem domluvené spolupráce protihráčů v podstatě nemožné.

Poznámka: Pro tuto hru byla objevena vyhrávající strategie pro začínajícího hráče - tj. pokud začínající hráč hraje správně, nemůže prohrát. Při běžném hraní bez pomoci počítače je ale prakticky nemožné si tuto strategii zapamatovat a dodržet, takže hra neztrácí nic ze své zajímavosti. Z důvodu znalosti vítězné strategie se však hra hraje i v jiných variantách - u některých z nich nebyla vyhrávající strategie zatím objevena.

[editovat] Varianty hry

1. Více hráčů - hru lze hrát i ve třech hráčích, případně ve čtyřech, ale tam už je to hodně o vylosovaném pořadí a o náhodě
2. Více sad pentomin - hru lze hrát v základní variantě s pomocí pouze jedné sady (tj. dvanácti) pentomin společné pro všechny hráče, nebo také tak, že každý hráč má svojí sadu pentomin
3. Přísnější pravidla pro pokládání - pravidla pro pokládání lze navíc omezit tak, že položená pentomina se nesmějí dotýkat stranou (jak je tomu například ve hře scrabble) nebo dokonce tak, že se nesmějí dotýkat ani rohem některého čtverce
4. Větší nebo nepravidelná šachovnice - především v případě, kdy je k dispozici více sad pentomin a jsou používána přísnější pravidla pro pokládání, lze hrát i na větší šachovnici - například na šachovnici 12x12 pro hru go. Lze také předem náhodně „vyškrtat“ několik čtverců šachovnice, na které se během hry nesmí pentomino umístit.