Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Obsah

1 Vyjádření v kanonických souřadnicích
2 Vlastnosti
3 Fyzikální aplikace
- 3.1 Rovnice pohybu
- 3.2 Fundamentální Poissonova závorka
4 Související články

[editovat] Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi $(q i, p j)$ dvě funkce $f(p_i,q_i,t)\,$ a $g(p_i,q_i,t)\,$ . Poissonova závorka má pak tvar

$\{f,g\} = \{f,g\}_{p,q} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right].$

Lze dokázat, že hodnota Poissonova závorka ${f, g}$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

{f, g} p, q = {f, g} P, Q

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

[editovat] Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

{f, g} = - {g, f}

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

{f, f} = 0

Dále platí

{(f 1 + f 2), g} = {f 1, g} + {f 2, g}

{(f 1 f 2), g} = f 1 {f 2, g} + f 2 {f 1, g}

Platí také tzv. Jacobiho identita

{f,{g, h}} + {g,{h, f}} + {h,{f, g}} = 0

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

$\frac{\part}{\part t}\{f,g\} = \left\{\frac{\part f}{\part t},g\right\} + \left\{f,\frac{\part g}{\part t}\right\}$

[editovat] Fyzikální aplikace

[editovat] Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{\part f}{\part p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\part H}{\part p} - \frac{\part f}{\part p}\frac{\part H}{\part q} = \frac{\part f}{\part t} + \{f,H\}$ ,

Kde $H$ je Hamiltonova funkce. Funkce $f$ je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

$\frac{\part f}{\part t} + \{f,H\} = 0$

V případě, že $f$ nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

{f, H} = 0

Zvolíme-li za funkci $f$ Hamiltonovu funkci $H$ , pak podle bude platit

$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\part H}{\part t}$

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka ${f, g}$ .

[editovat] Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

{Q i, P j} = δ i j

{Q i, Q j} = 0

{P i, P j} = 0

kde $δ i j$ je Kroneckerův symbol.

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Poissonova závorka v jiných jazycích: Български, Deutsch, English, Español, فارسی, Français, Italiano, 한국어, Polski, Português, Русский, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Poissonova_z%C3%A1vorka“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 15. 8. 2008 v 07:56.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).