Invia.cz Last minute Tunisko Dovolená v Chorvatsku Pojeďte do Egypta Bulharsko Vydělávejte peníze s INVIA.CZ

d, 07 Jan 2009 20:31:08 GMT Server: Apache X-Powered-By: PHP/5.2.4-2ubuntu5wm1 Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate Content-Language: cs Vary: Accept-Encoding,Cookie X-Vary-Options: Accept-Encoding;list-contains=gzip,Cookie;string-contains=cswikiToken;string-contains=cswikiLoggedOut;string-contains=cswiki_session;string-contains=centralauth_Token;string-contains=centralauth_Session;string-contains=centralauth_LoggedOut Last-Modified: Tue, 23 Dec 2008 18:37:31 GMT Content-Length: 32250 Content-Type: text/html; charset=utf-8 X-Cache: MISS from sq24.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from sq24.wikimedia.org:3128 Age: 48155 X-Cache: HIT from knsq1.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: HIT from knsq1.knams.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq23.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq23.knams.wikimedia.org:80 Via: 1.0 sq24.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq1.knams.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq23.knams.wikimedia.org:80 (squid/2.6.STABLE21) Connection: close Polární soustava souřadnic - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Polární soustava souřadnic

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná $r$ ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\varphi$ ) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa $x$ kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích

Bod v polární soustavě souřadnic

Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]

Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

$x = r \cos{\varphi}\,$

$y = r \sin{\varphi}\,$

Převod kartézských souřadnic na polární:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu $\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$ - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

$\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.$

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)$

[editovat] Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,$

tedy délka křivky obecně jako

$\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t 1$ do $t 2$ .

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

$\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,$

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

${\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}= {\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0$

${\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}$

${\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r$

[editovat] Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

$\nabla f = {\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } + {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}$

$\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } + {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}$

$\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) + {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}$

$\Delta \mathbf{A} = \left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2} - {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } + \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2} + {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}$

Soustavy souřadnic

Kartézská soustava souřadnic Ortogonální souřadnice Afinní soustava souřadnic Obecné souřadnice

2-D Polární soustava souřadnic Bi-polární soustava souřadnic Úhlová soustava souřadnic

3-D Válcová soustava souřadnic Sférická soustava souřadnic

n-D Hypersférická soustava souřadnic

Kategorie: Soustavy souřadnic

d, 07 Jan 2009 20:31:08 GMT Server: Apache X-Powered-By: PHP/5.2.4-2ubuntu5wm1 Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate Content-Language: cs Vary: Accept-Encoding,Cookie X-Vary-Options: Accept-Encoding;list-contains=gzip,Cookie;string-contains=cswikiToken;string-contains=cswikiLoggedOut;string-contains=cswiki_session;string-contains=centralauth_Token;string-contains=centralauth_Session;string-contains=centralauth_LoggedOut Last-Modified: Tue, 23 Dec 2008 18:37:31 GMT Content-Length: 32250 Content-Type: text/html; charset=utf-8 X-Cache: MISS from sq24.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from sq24.wikimedia.org:3128 Age: 48155 X-Cache: HIT from knsq1.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: HIT from knsq1.knams.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq23.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq23.knams.wikimedia.org:80 Via: 1.0 sq24.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq1.knams.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq23.knams.wikimedia.org:80 (squid/2.6.STABLE21) Connection: close Polární soustava souřadnic - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Polární soustava souřadnic v jiných jazycích: Afrikaans, العربية, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, English, Esperanto, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Ido, Italiano, 日本語, 한국어, Latviešu, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Srpskohrvatski / Српскохрватски, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%A1rn%C3%AD_soustava_sou%C5%99adnic“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 2. 12. 2008 v 15:09.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).

Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy