Projektivní geometrie
Projektivní geometrie představuje takovou geometrii, jejíž relace zůstávají v platnosti pro nejobecnější typ lineárních transformací. Zahrnuje proto afinní geometrii, metrickou geometrii a Eukleidovskou geometrii jako své speciální případy, jejichž omezující předpoklady jsou zesilovány směrem od geometrie projektivní, afinní a metrické až ke geometrii Eukleidovské. Grupu symetrií projektivní geometrie tvoří nejobecnější lineární transformace, které zahrnují afinní, metrickou a Eukleidovskou grupu transformací jako své zvláštní případy. Pokud postupně zužujeme grupu symetrií, v odpovídající geometrii se zachovává stále více veličin (invariantů). Zatímco v projektivní geometrii se zachovává jen incidenční struktura a fundamentální veličina zvaná dvojpoměr, v afinní geometrii se navíc zachovává např. paralelismus, a v Eukleidovské geometrii se zachovávají též délky, úhly, plochy i další veličiny.
Projektivní geometrie byla historicky inspirována potřebami renesančního umění - zvládnutím perspektivy v malířství. Matematickým zachycením těchto poznatků se zabývali Desargues, Poncelet, Möbius, Cayley aj.
V Erlangenském programu Felixe Kleina z r. 1872 je projektivní geometrie zdůrazňována jako nejobecnější rámec pro všechny ostatní geometrie, známé či předpokládané v tehdejší době - zejména pak pro tzv. neeukleidovské geometrie.[1] Je pozoruhodné, že Klein výslovně zdůrazňoval přednosti projektivního rámce i pro fyziku. V tomto ohledu Kleinova vize však nedošla naplnění, neboť projektivní geometrie nebyla nikdy módní a její myšlenky pronikají do fyziky jen zvolna.[2] Mnohé důležité výsledky fyziky (např. ve speciální teorii relativity, statistické termodynamice a kvantové mechanice) tak představují do určité míry znovuobjevování základních faktů a vztahů projektivní geometrie, aniž to bývá rozpoznáno.[3] Velmi důležitá a rozšířená je dnes projektivní geometrie v metodách počítačové vizualizace - např. extrakce informací o třírozměrných objektech z dvojrozměrných projekcí.[4]
Riemannova geometrie je geometrií metrickou, a je proto ve smyslu Erlangenského programu (grupově-teoretickm pohledu) též speciálním případem geometrie projektivní. Nic na tom nemění ani okolnost, že metrický tenzor v Riemannově geometrii obecně závisí na souřadnicích. Je tudíž zajímavé, že v Einsteinově obecné teorii relativity je za nejbližší zobecnění geometrie Eukleidovské považována metrická geometrie Riemannova.[5]
Literatura:
- ↑ Klein F.: "A Comparative Review of Recent Researches in Geometry". A. Deichert, Erlangen, 1872. English translation by Haskell M. W., Bull. New York Math Soc. 2, (1892-1893), pp. 215-249
- ↑ Kline M.: "Projective Geometry". In: "The World of Mathematics", Vol. 1 (Newman J., ed.), Dover, Mineola-New York, 2000, pp. 622-641
- ↑ Robbin T.: "Shadows of Reality: The Fourth Dimension in Relativity, Cubism, and Modern Thought". Yale Univ. Press, Yale, 2006
- ↑ Pollefeys M.: "Visual 3D Modeling from Images" Tutorial notes, 2002, WWW: http://cs.unc.edu/~marc/tutorial/tutorial02.html
- ↑ Albert Einstein : "Geometry and Experience". Lecture before the Prussian Academy of Sciences, January 27, 1921