Regulární zobrazení

Mějme v n-rozměrné oblasti $\mathbf{M}$ definováno n funkcí

$\begin{matrix} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) \\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) \\ ... \\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_n) \end{matrix}$

Tato soustava definuje zobrazení, které označíme jako regulární v oblasti $\mathbf{M}$ , jestliže každá z funkcí $f i (x 1, x 2,..., x n)$ má v $\mathbf{M}$ spojité všechny parciální derivace prvního řádu a současně je nenulový jakobián, tzn.

$\frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} \ne 0$

Je-li jakobián roven nule, pak zobrazení označujeme jako singulární.

[editovat] Vlastnosti

Každé regulární zobrazení je spojité. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Pokud je zobrazení regulární v $\mathbf{M}$ , pak je v dostatečně malém okolí každého vnitřního bodu $X \in \mathbf{M}$ vzájemně jednoznačné.

Při vzájemně jednoznačném regulárním zobrazení je obrazem oblasti opět oblast.

Inverzní zobrazení k danému regulárnímu zobrazení je také regulární, přičemž mezi jakobiány obou zobrazení platí vztah

$\frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} = \frac{1}{\frac{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)}{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}}$

Zobrazení, které vznikne postupnou aplikací dvou regulárních zobrazení je opět regulárním zobrazením. Jakobián výsledného zobrazení je roven součinu jakobiánů obou zobrazení, tzn.

$\frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} = \frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(u_1,u_2,...,u_n)}\frac{\mathrm{D}(u_1,u_2,...,u_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)}$

[editovat] Související články

Kategorie: Matematická analýza | Algebra

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A1rn%C3%AD_zobrazen%C3%AD“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 19. 5. 2008 v 18:17.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).