Reprezentace (grupa)

Reprezentace grupy G je homomorfizmus $G\to Aut(V)$ , kde V je vektorový prostor a $A u t (V)$ grupa invertibilních lineárních zobrazení $V\to V$ s operací skládání. Za předpokladu volby baze prostoru $V$ můžme reprezentaci chápat jako homomorfizmus G do prostoru matic. Pokud je homomorfizmus dán, říkáme někdy, že prostor $V$ je reprezentace G.

Ekvivalentně se říká, že $V$ je G-modul, nebo-li $G$ má akci na $V$ .

[editovat] Příklad

Nechť $G = S 3$ je grupa permutací tříprvkové množiny. Pak můžme definovat reprezentaci G na $\mathbb{R}^2$ takto: identitě přiradíme identické zobrazení na $\mathbb{R}^2$ , cyklu (123) přiradíme otočení o $120 ^\circ$ , cyklu (132) otočení o $240^\circ,$ transpozici (12) zrcadlení kolem osy $y$ , transpozici (13) zrcadlení kolem osy se směrem $\langle -\sqrt{3}/2, 1/2\rangle$ a transpozici (23) zrcadlení kolem osy se směrem $\langle \sqrt{3}/2, 1/2\rangle$ . Tato reprezentace ilustruje fakt, že $S 3$ je grupa izometrií rovnostranného trojúhelníka v rovině (prvky abstraktní grupy $S 3$ jsou reprezentovány jako izometrie roviny, které zachovávájí trojúhelník).

Jiná reprezentace G je triviální reprezentace na $\mathbb{R}$ : každému prvku G přiradíme identické zobrazení $\mathbb{R}$ na sebe.

[editovat] Využití

Motivace pro studium reprezentací pochází z kvantové fyziky, která popisuje objekty pomocí vektorů. Obvykle se v teoriích vyskytuje grupa $G$ , která je grupou symetrie dané teorie nebo daného problému. Nejčastěji to bývá grupa rotací prostoru, nebo grupa Lorentzových transformací, anebo grupa $U (1)$ (v elektromagnetizmu) $S U (2), S U (3)$ (v částicových teoriích), resp. $U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ (v různých teoriích sjednocení) a pod. Objekty teorie (částice a pod.) jsou pak prvky (nějaké) reprezentace dané grupy symetrie. Ve fyzice se navíc obvykle předpokládá, že reprezentace je unitární, t.j. na prostoru je dán skalární součin, který je invariantní vůči akci grupy. Klasifikace unitarizovatelných reprezentací klasických grup není zatím obecně známa (pro výše uvedené grupy ale ano).

Reprezentace Lieových grup mají aplikace v geometrii a studium reprezentací grup v prostorech kladné charakteristiky má aplikace v teorii čísel.

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Reprezentace (grupa) v jiných jazycích: Deutsch, English, Esperanto, Español, Français, עברית, Italiano, ქართული, 한국어, Polski, Русский, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Reprezentace_(grupa)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 24. 8. 2008 v 14:52.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).