Reziduum
Vyjádříme-li holomorfní funkci f(z) v okolí jejího izolovaného singulárního bodu z0 Laurentovou řadou (pro 
), pak číslo a − 1 se nazývá reziduum funkce f(z) v bodě z0.
Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme
[editovat] Reziduová věta
Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku c, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku 
. Uvažujme funkci f(z), která je v holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů z1,z2,...,zn a s výjimkou těchto bodů spojitá v 
. Pak integrál 
je roven součtu reziduí funkce f(z) v bodech z1,z2,...,zn, tzn.
![\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}](/math/f/3/7/f377b0d6c1402453427d5f5c4ceb5d3a.png)
,
kde ![\mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}](/math/8/6/2/862250e1c10e0f9ea12632efe6cfa38e.png)
označuje reziduum funkce f(z) v bodě zk.
[editovat] Výpočet reziduí
Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c}=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),](/math/b/a/c/bac0f0c91634ec1c09ecf5ec55557c12.png)
nebo přímo použitím reziduové věty
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} =
{1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz](/math/2/6/2/2622501c41800699b5ce8c62c20e2a6b.png)
kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.
Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.](/math/d/d/9/dd9657a8d121ff6a8c85529aed563b36.png)
Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).](/math/2/6/3/263b351e42fe0172bdcf9379aa06bd9f.png)
Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.
