Riemannův tenzor křivosti

Tento článek z oblasti matematiky potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vhodně vylepšíte. Inspiraci k vylepšení lze hledat v radách na stránce Vzhled a styl, případně na diskusní stránce článku.

Riemannův (Riemannův-Christoffelův) tenzor křivosti zachycuje v Riemannově geometrii křivost Riemannova prostoru. Riemannův tenzor křivosti lze použít k vyjádření křivosti libovolné variety s afinní konexí.

Riemannův tenzor křivosti lze považovat z míru nekomutativnosti kovariantních derivací.

[editovat] Definice

Riemannův tenzor lze vyjádřit pomocí afinních konexí a kovariantních derivací jako

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w$ .

Složky tenzoru křivosti bývají obvykle vyjadřovány vztahem

$R_{{ }\kappa\lambda\mu}^\iota = 2\left(\Gamma_{{ }\kappa[\lambda,\mu]}^\iota + \Gamma_{{ }\kappa[\lambda}^\rho \Gamma_{{ }\rho\mu]}^\iota \right)$ ,

kde čárkou je označena parciální derivace.

Vzhledem k tomu, že kovariantní derivace nejsou v křivém prostoru záměnné (na rozdíl od parciálních derivací) bude pro složky kovariantního vektoru $T κ$ platit

$2 T_{\kappa;[\lambda\mu]} = -T_\iota R_{{ }\kappa\lambda\mu}^\iota$

Podle tohoto vztahu tedy v obecném případě nejsou kovariantní derivace kovariantního vektoru záměnné.

Podobně lze pro složky kontravariantního vektoru $T κ$ získat

$2 T_{\,;[\lambda\mu]}^\kappa = -T^\iota R_{\,\iota\lambda\mu}^\kappa$

Předchozí vztahy jsou speciálními případy výrazu pro obecný tenzor $T_{\rho\cdots}^{\sigma\cdots}$ , tzn.

$2 T_{\rho\cdots;[\lambda\mu]}^{\sigma\cdots} = - T_{\iota\cdots}^{\sigma\cdots} R_{\,\rho\lambda\mu}^\iota - \cdots - T_{\rho\cdots}^{\iota\cdots} R_{\,\iota\lambda\mu}^\rho - \cdots$

Vyjádřením Riemannova tenzoru v kovariantním tvaru dostaneme

$R_{\iota\kappa\lambda\mu} = g_{\iota\nu} R_{\,\kappa\lambda\mu}^nu = 2g_{\iota\nu} \Gamma_{\,\kappa[\lambda,\mu]}^\nu + 2 \Gamma_{\,\kappa[\lambda}^\rho \Gamma_{\iota\rho\mu]} = g_{\iota[\lambda,\kappa\mu]} + g_{\kappa[\mu,\iota\lambda]} + 2\Gamma_{\,\kappa[\lambda}^\nu \Gamma_{\nu\iota\mu]}$

Vzhledem k tomu, že v křivém prostoru nejsou kovariantní derivace záměnné, nejsou tam záměnné ani absolutní derivace, tzn.

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{D}T_\kappa}{\mathrm{d}v} - \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}v}\frac{\mathrm{D}T_\kappa}{\mathrm{d}u} = T_\iota R_{\,\kappa\lambda\mu}^\iota \frac{\part x^\lambda}{\part u}\frac{\part x^\mu}{\part v}$

[editovat] Vlastnosti

Riemannův tenzor je antisymetrický v prvních dvou indexech i v posledních dvou indexech, tzn.

R ικλμ = - R ικμλ = - R κιλμ

Riemannův tenzor je symetrický vůči záměně první a druhé dvojice indexů, tzn.

R ικλμ = R λμικ

Hodnoty Riemannova tenzoru jsou navíc omezeny rovnicí

R ικλμ + R ιλμκ + R ιμκλ = 0

Z předcházejících podmínek lze určit počet nezávislých položek Riemannova tenzoru jako

$\frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ ,

kde $n$ je dimenze daného prostoru. Pro prostoročas je $n = 4$ , takže odpovídající Riemannův tenzor má $20$ nezávislých složek.

[editovat] Bianchiho identita

Riemannův tenzor splňuje tzv. Bianchiho identitu

R ικλμ;ν + R ικμν;λ + R ικνλ;μ = 0

[editovat] Zúžené formy Riemannova tenzoru

[editovat] Ricciho tenzor

Zúžením Riemannova tenzoru v prvním a třetím indexu dostáváme tzv. Ricciho tenzor

$R_{\kappa\mu} = R_{\,\kappa\iota\mu}^\iota = g^{\iota\lambda} R_{\iota\kappa\lambda\mu} = g^{\lambda\iota} R_{\lambda\mu\iota\kappa} = R_{\mu\kappa}$

Ricciho tenzor je tedy symetrický tenzor druhého řádu.

Z vlastností tenzoru křivosti plyne, že kontrakcí Riemannova tenzoru v libovolných dvou indexech vznikne (až na znaménko) Ricciho tenzor nebo nula

[editovat] Skalární křivost

Zúžením Ricciho tenzoru dostaneme tzv. skalární křivost

R = g κμ R κμ

[editovat] Einsteinův tenzor

Postupným úžením Bianchiho identity v $ιν$ a $κλ$ získáme s využitím dalších zúžených forem vztahy

$R_{\,\kappa\lambda\mu;\iota}^\iota - R_{\kappa\mu;\lambda} + R_{\kappa\lambda;\mu} = 0$

$- R_{\,\mu;\iota}^\iota - R_{\,\mu;\kappa}^\kappa + R_{;\kappa} = - 2{\left(R_\mu^\kappa - \frac{1}{2}R\delta_\mu^\kappa\right)}_{;\kappa} = 0$

Definujeme tzv. Einsteinův tenzor jako

$G^{\iota\kappa} = R^{\iota\kappa} - \frac{1}{2} R g^{\iota\kappa}$

S pomocí tohoto tenzoru lze předchozí vztah zapsat jako

$G_{\,\,;\kappa}^{\iota\kappa} = 0$

Divergence Einsteinova tenzoru je tedy nulová.

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Riemannova geometrie

Riemannův tenzor křivosti v jiných jazycích: Asturianu, Deutsch, English, Español, فارسی, Français, Italiano, Nederlands, Português, Русский, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Riemann%C5%AFv_tenzor_k%C5%99ivosti“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 4. 10. 2008 v 05:40.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).