Riemannova funkce zeta

Riemannova funkce zeta, označovaná pomocí řeckého písmene ζ jako ζ(s), je důležitým pojmem v analytické teorii čísel. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. Riemannovy hypotézy, která patří k nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky.

[editovat] Definice

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady:

$\zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1 a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel různých od 1.

[editovat] Vlastnosti

je-li s = 1, pak

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty$ , což je tzv. harmonická řada

je-li s = 2, pak

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$

zeta funkce je pro $s > 1$ rovna tzv. Eulerovu součinu:

$\zeta(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s} = \prod_{p \in P} \frac{1}{1-p^{-s}}$ , kde P je množina všech prvočísel

[editovat] Nulové body

Podrobnější informace naleznete v článcích Riemannova hypotéza a Věta o kritické přímce.

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která $ζ(s) = 0$ . Lze je rozdělit na

triviální – všechna sudá záporná celá čísla
netriviální – ostatní, leží v tzv. kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na tzv. kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematické pahýly | Matematické funkce

Riemannova funkce zeta v jiných jazycích: العربية, Български, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Kreyòl ayisyen, Magyar, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Riemannova_funkce_zeta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 3. 11. 2008 v 01:53.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).