Riemannova věta

Je-li reálná řada $\sum_{i=1}^{\infty} a_n$ neabsolutně konvergentní, pak ke každému $S \in \mathbb{R}$ existuje přerovnání $\phi :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takové, že $\sum_{i=1}^{\infty} a_{\phi(n)} = S$ . Rovněž existuje oscilující přerovnání $\phi:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ této řady.

[editovat] Důkaz

Nejprve si uvědomme, že platí $\sum_{i=1}^{\infty} a_i^+ = \sum_{i=1}^{\infty} a_i^- = \infty$ , kde $a_i^+$ značí kladnou část čísla $a i$ , tedy $a_i^+ = max(a_i, 0)$ , $a_i^-$ značí zápornou část tohoto čísla: $a_i^- = max(-a, 0)$ . Je tedy $a_i = a_i^+ - a_i^-$ a $|a_i| = a_i^+ + a_i^-$ . To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
Je-li $S < 0$ , pak přeskočím následující krok.
Najdu takové přirozené číslo $n$ , pro které platí $\sum_{i=1}^n a_i^+ > S$ . Tento součet označím $T 1$ . Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu $n$ .
Nyní najdu další přirozené číslo $m$ takové, aby $\sum_{i=1}^m a_i^- + T_1< S$ . Tento součet označím $T 2$ a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty $T 1$ a $T 2$ postupně blížit k požadovanému $S$ .

[editovat] Související články

Řada

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Kategorie: Matematické věty a důkazy

Riemannova věta v jiných jazycích: Deutsch, English, Français, Polski, Русский, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Riemannova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 12. 7. 2008 v 13:39.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).