Hledat:

Invia.cz Last minute Tunisko Dovolená v Chorvatsku Pojeďte do Egypta Bulharsko Last minute Kréta
 

Rolleova věta

Geometrický význam Rolleovy věty.

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu. Je pojmenována po francouzském matematikovi Michelu Rolleovi, který větu formuloval v roce 1691.

Věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu existuje derivace a nechť . Pak existuje bod c v otevřeném intervalu , pro nějž platí

.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

  1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace a věta je dokázána.
  2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož a funkce není konstantní, musí existovat takové, že nebo . Předpokládejme, že .

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje takové, že , tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, .

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematický matematik Bháskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Půlkruh s poloměrem r

První příklad[editovat | editovat zdroj]

Buď poloměr a mějme funkci

.

Jejím grafem je horní půlkruh se středem v počátku. Tato funkce je spojitá na uzavřeném intervalu a má derivaci na otevřeném intervalu , ale ne v krajních bodech. Předpoklady Rolleovy věty jsou splněny, protože . A skutečně, bod s nulovou derivací existuje.

Graf funkce absolutní hodnoty

Druhý příklad[editovat | editovat zdroj]

Pokud funkce nemá ve všech vnitřních bodech intervalu derivaci, nemusí závěr Rolleovy věty platit. Mějme funkci absolutní hodnoty:

.

Ačkoli , neexistuje žádný bod takový, že . Důvodem je právě to, že v bodě neexistuje derivace funkce .

Související články[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rolle's theorem na anglické Wikipedii.

 
Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Rolleova_věta&oldid=15207678
Stránka byla naposledy upravena 29. 7. 2017 v 19:17. Editovat celý článek Rolleova věta.
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy