Rolleova věta

Geometrický význam Rolleovy věty.

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu.

[editovat] Věta

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu $\left(a,b\right)$ existuje derivace $f'\left(x\right)$ a nechť $f\left(a\right) = f\left(b\right)$ . Pak existuje bod c v otevřeném intervalu $\left(a,b\right)$ , pro nějž platí

$f'\left(c\right) = 0$ .

[editovat] Důkaz

Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace $f'\left(x\right)=0, \forall x \in \left(a,b\right)$ a věta je dokázána.
Nechť funkce f není konstantní. Jelikož $f\left(a\right) = f\left(b\right)$ a funkce není konstatní, musí existovat $d \in \left(a,b\right)$ takové, že $f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right)$ nebo $f\left(d\right) < f\left(a\right) = f\left(b\right)$ . Předpokládejme, že $f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right)$ .

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje $d \in \left(a,b\right)$ takové, že $f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right)$ , tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, $f'\left(c\right) = 0$ .

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Rolleova věta v jiných jazycích: العربية, Català, Dansk, Deutsch, English, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Italiano, 日本語, 한국어, Lumbaart, Nederlands, Polski, Português, Русский, Српски / Srpski, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Rolleova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 10. 9. 2008 v 20:55.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).