Monotónní funkce

(Přesměrováno z Rostoucí funkce, přímý odkaz na Monotónní funkce)

Průběh funkce

Obsah

1 Monotonie
2 Monotónní funkce
3 Terminologie
4 Související články

[editovat] Monotonie

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě):

Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna $x$ v tomto okolí platí:

$x > a \Rightarrow f(x) > f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) < f(a)$ .

Obdobně je funkce klesající, pokud

$x > a \Rightarrow f(x) < f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) > f(a)$ ,

nerostoucí pro

$x > a \Rightarrow f(x) \le f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \ge f(a)$ ,

a neklesající pro

$x > a \Rightarrow f(x) \ge f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \le f(a)$ .

Monotonie globální (na intervalu):

Funkce je na intervalu $I$ rostoucí, jestliže pro všechna $x < y$ z tohoto intervalu platí:

f (x) < f (y)

Obdobně je funkce na $I$ klesající, pokud

f (x) > f (y)

nerostoucí pokud

$f(x) \ge f(y)$ ,

a neklesající pokud

$f(x) \le f(y)$ .

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu $\langle x_3, x_5\rangle$ , klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu $\langle x_2, x_3 \rangle$ .

[editovat] Monotónní funkce

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

konstantní funkce, tzn. pro každé $x \neq y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f (x) = f (y)$
rostoucí funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f (x) < f (y)$
klesající funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f (x) > f (y)$
neklesající funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f(x) \leq f(y)$
nerostoucí funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f(x) \geq f(y)$

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření, zda je funkce $f (x)$ v určitém bodě rostoucí nebo klesající se využívá první derivace $f^\prime(x)$ funkce, přičemž platí

funkce $f (x)$ je rostoucí, je-li $f^\prime(x) > 0$
funkce $f (x)$ je neklesající, je-li $f^\prime(x) \geq 0$
funkce $f (x)$ je klesající, je-li $f^\prime(x) < 0$
funkce $f (x)$ je nerostoucí, je-li $f^\prime(x) \leq 0$

[editovat] Terminologie

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
rostoucí pokud je neklesající dle...,
ryze klesající pokud je klesající dle...,
klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematické funkce

Monotónní funkce v jiných jazycích: Deutsch, English, Español, Français, עברית, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Polski, Português, Русский, Srpskohrvatski / Српскохрватски, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Monot%C3%B3nn%C3%AD_funkce“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 20. 10. 2008 v 03:07.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).