Rotace (operátor)

Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce n proměnných, který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) definované tímto polem. Značí se $rot$ , případně (hlavně v anglické literatuře) $curl$ . Je definován jako $\nabla \times \mathbf{F}$ (kombinace operátoru nabla a vektorového součinu), ve třech rozměrech (pro funkci tří proměnných) jej lze zapsat ve tvaru:

$\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left ( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right )$

Rotace využívá např. Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou. Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu) a nazývá se polem potenciálním.

Obsah

1 Vlastnosti rotace
2 Vyjádření v různých soustavách souřadnic
3 Související články
4 Externí odkazy

[editovat] Vlastnosti rotace

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

$\nabla\times \left(a\mathbf{F}+b\mathbf{G}\right) = a\nabla\times \mathbf{F}+b\nabla\times\mathbf{G}$ .

Rotace gradientu je nulová

$\nabla\times \nabla f = \mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, f = \mathbf{0}$ .

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je

$\nabla\times \left(f \mathbf{F}\right) = \nabla f \times \mathbf{F}+f \nabla\times\mathbf{F}$ .

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je

$\nabla\times \left(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F}-\left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\mathbf{F}\left(\nabla\cdot\mathbf{G}\right)-\mathbf{G}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)$ ,

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí

$\nabla \times \left(\nabla\times \mathbf{F}\right) = \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)-\Delta \mathbf{F}$ .

[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahu udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\nabla \times \mathbf{F} = \left({1 \over r}{\partial F_z \over \partial \varphi} - {\partial F_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r} + \left({\partial F_r \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial r}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} + {1 \over r}\left({\partial ( r F_\varphi ) \over \partial r} - {\partial F_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}$

Ve sférických souřadnicích:

$\nabla \times \mathbf{F} = {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( F_\varphi\sin\theta ) - {\partial F_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial F_r \over \partial \varphi} - {\partial \over \partial r} ( r F_\varphi ) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r F_\theta ) - {\partial F_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

$\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_2 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_2}- \frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_3} \right)\boldsymbol{\hat x}_1$

$+\ \ \ \ \ \frac{1}{h_1 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_3}- \frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_1} \right)\boldsymbol{\hat x}_2$

$+\ \ \ \ \ \frac{1}{h_1 h_2} \left( \frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_1}- \frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_2} \right)\boldsymbol{\hat x}_3$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

$\left(\nabla\times \mathbf{F}\right)^i \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i} = \left(\varepsilon^{ijk} F_{k,j}\right) \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},$

kde $\varepsilon^{ijk}$ je Levi-Civitův pseudotenzor.

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejnětak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Vektorové diferenciální operátory

Nabla • Gradient • Divergence • Rotace • Laplace • d'Alembertův operátor

[editovat] Související články

Parciální derivace

[editovat] Externí odkazy

Rotace v Multimediálním kurzu aplikované matematiky

Kategorie: Diferenciální operátory | Vektorový počet

Rotace (operátor) v jiných jazycích: Bosanski, Català, Deutsch, English, Esperanto, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Íslenska, Italiano, 日本語, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Srpskohrvatski / Српскохрватски, Slovenčina, Svenska, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Rotace_(oper%C3%A1tor)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 2. 10. 2008 v 18:28.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).