Rozptyl (statistika)

Rozptyl (též střední kvadratická odchylka, střední kvadratická fluktuace, variance nebo také disperze) se používá v teorii pravděpodobnosti a statistice. Je to druhý centrální moment náhodné veličiny. Jedná se o charakteristiku variability rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která vyjadřuje variabilitu rozdělení souboru náhodných hodnot kolem její střední hodnoty.

Rozptyl náhodné veličiny $X$ se označuje $σ 2 (X)$ , $S 2 (X)$ , $D (X)$ nebo $\operatorname{var}(X)$ .

[editovat] Definice

Rozptyl je definován jako střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty. Odchylku od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako náhodná veličina, zachycuje směrodatná odchylka.

Pro diskrétní náhodnou veličinu jej můžeme definovat vztahem

$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n {\left[x_i - \operatorname{E}(X)\right]}^2 p_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - {[\operatorname{E}(X)]}^2$ ,

kde $x i$ jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina $X$ nabývat (s pravděpodobnostmi $p i$ ) a $\operatorname{E}(X)$ je střední hodnota veličiny $X$ .

Je-li pravděpodobnost všech diskrétních hodnot stejná, pak se předchozí vztah zjednoduší na

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\operatorname{E}(x))^2$

Pro spojitou náhodnou veličinu definujeme rozptyl vztahem

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty {\left[x-\operatorname{E}(X)\right]}^2 f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\mathrm{d}x - {[\operatorname{E}(X)]}^2$ ,

kde $f (x)$ je hustota pravděpodobnosti veličiny $X$ .

[editovat] Vlastnosti

Pro rozptyl součinu náhodné veličiny $X$ a konstanty $c$ platí

$\sigma^2(cX) = c^2 \sigma^2(X) \,$

Rozptyl součtu i rozdílu nezávislých náhodných veličin $X, Y$ je roven součtu rozptylů těchto náhodných veličin, tzn.

$\sigma^2(X\pm Y) = \sigma^2(X) + \sigma^2(Y)$

Obdobné tvrzení platí také pro rozptyl součtu většího počtu náhodných veličin.

Pro výpočet rozptylu se často používá následující vztah

$\sigma^2(X) = \operatorname{E}(X^2) - {[\operatorname{E}(X)]}^2$

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematická statistika

Rozptyl (statistika) v jiných jazycích: العربية, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, Galego, עברית, Bahasa Indonesia, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Basa Sunda, Svenska, Türkçe, Українська, اردو, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Rozptyl_(statistika)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 29. 10. 2008 v 15:51.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).