Rozvoj funkce

Mějme na intervalu $a\leq x\leq b$ množinu známých a lineárně nezávislých funkcí $φ 1 (x),φ 2 (x),...,φ n (x)$ . Pomocí těchto funkcí lze přibližně vyjádřit jinou funkci $f (x)$ .

Funkce $f (x)$ je obvykle neznámá a často představuje vyjádření určité experimentálně získané závislosti.

Obsah

1 Aproximativní funkce
- 1.1 Metoda nejmenších čtverců
2 Úplnost množiny funkcí
3 Semikonvergentní řada
4 Související články

[editovat] Aproximativní funkce

Lineární kombinací n známých funkcí $φ i$ lze získat aproximativní funkci

$F_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)$ ,

kde $c i$ jsou konstanty, které je třeba určit tak, aby výraz

| R n (x) | = | f (x) - F n (x) |

dosahoval na intervalu $a\leq x\leq b$ co nejmenších hodnot. Tento výraz tedy představuje podmínku pro nejlepší vyjádření funkce $f (x)$ pomocí $n$ známých funkcí $φ i (x)$ .

[editovat] Metoda nejmenších čtverců

Metoda nejmenších čtverců přistupuje k nalezení koeficientů $c i$ tak, že požaduje minimalizování integrálu

$I(c_1,c_2,...,c_n) = \int_a^b {\left|f(x) - \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)\right|}^2 \mathrm{d}x$

Požadavek na minimalizaci tohoto integrálu lze vyjádřit jako

$\frac{\part I}{\part c_i}=0 \; \mbox{ pro } i=1,2,...,n$ .

Lze předpokládat, že se vzrůstajícím $n$ , tedy s větším počtem funkcí $φ i$ , bude možné funkci $f (x)$ aproximovat lépe. Pokud je tedy množina funkcí $φ i$ nekonečná, bude mít podmínka pro nalezení nejlepšího přiblížení tvar

$\lim_{n \to \infty} \left|f(x) - \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)\right| = \lim_{n \to \infty} \left|R_n\right| = 0$

Tato podmínka však odpovídá podmínce konvergence řady na daném intervalu.

[editovat] Úplnost množiny funkcí

Pokud máme na určitém intervalu $I$ množinu funkcí $φ 1 (x),φ 2 (x),...$ , jejichž prostřednictvím lze na daném intervalu $I$ metodou nejmenších čtverců aproximovat s libovolnou přesností jakoukoli spojitou funkci $f (x)$ , pak množinu (soustavu) funkcí $φ i (x)$ označujeme jako úplnou. Množina funkcí $φ i$ je tedy úplná, pokud pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje takové $n$ , že platí

$\int_a^b {\left|f(x) - \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)\right|}^2 \mathrm{d}x < \varepsilon$

[editovat] Semikonvergentní řada

V mnoha případech je požadován pouze přibližný výpočet hodnot funkce. V takových případech není nutné, aby řada aproximující funkci byla konvergentní, ale postačuje, aby zbytek $| R n (x) |$ byl pro určité $n$ dostatečně malý. To může vést k tomu, že hodnota $| R n (x) |$ při daném $x$ s rostoucím $n$ nejdříve klesá (až pro určité $n 0$ dosáhneme dostatečné přesnosti použitelné k přibližnému vyjádření funkce $f (x)$ ), ale s dalším růstem hodnoty $n$ roste také $| R n (x) |$ do nekonečna. Takové řady se označují jako semikonvergentní (polosbíhavé).

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematická analýza

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Rozvoj_funkce“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 6. 2008 v 22:06.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).