Bohrův model atomu

(Přesměrováno z Rydbergova konstanta, přímý odkaz na Bohrův model atomu)

Bohrův model atomu vychází z planetárního modelu, pokouší se však na chování elektronů v elektronovém obalu aplikovat výsledky kvantové mechaniky.

Obsah

1 Popis modelu
2 Nedostatky modelu
3 Pohyb atomového jádra
4 Související články

[editovat] Popis modelu

Bohrův model vodíkového atomu.

Struktura atomu je Bohrově modelu shodná se strukturou atomu v modelu planetárním, tzn. atom obsahuje centrální hmotné atomové jádro, kolem kterého obíhají elektrony. Z hlediska popisu tedy v Bohrově modelu můžeme použít všechny vztahy užité v modelu planetární. Bohrův model ovšem zavádí některá omezení vyplývající z kvantové mechaniky, která zajišťují stabilitu elektronových drah, tzn. řeší největší problém planetárního modelu atomu.

[editovat] Dráha elektronu

Nejjednodušším atomem je atom vodíku, jehož atomové jádro obsahuje pouze jeden proton, kolem kterého obíhá jeden elektron. Pokud předpokládáme, že elektron se pohybuje po kruhové dráze, bude na elektron působit dostředivá síla $F d$ , jejíž velikost určuje vztah $F = m\frac{v^2}{r}$ , a která působí proti elektrostatické síle $F e$ , jejíž velikost určuje Coulombův zákon. Elektron se bude pohybovat po kruhové dráze v případě, že jsou obě síly v rovnováze, tzn. $F d = F e$ neboli

$m\frac{v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$

Pro de Broglieho vlnovou délku $λ$ elektronu ve vodíkovém atomu lze z předchozího vztahu získat výraz

$\lambda = \frac{h}{e}\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 r}{m}}$ ,

kde $r$ je poloměr dráhy elektronu, $e$ je elektrický náboj elektronu a $m$ je hmotnost elektronu. Bohr zjistil, že de Broglieho vlnová délka $λ$ elektronu ve vodíkovém atomu, která je určena předchozím vztahem, je rovna délce obvodu dráhy elektronu, tzn. $2π r$ . Dráha elektronu ve vodíkovém atomu tedy odpovídá právě jedné vlnové délce de Broglieho vlny.

Na základě této zajímavé skutečnosti byl učiněn předpoklad, že elektron se může pohybovat pouze po drahách, které odpovídají celočíselným násobkům de Broglieho vlnových délek, přičemž při pohybu po těchto drahách se energie elektronu nemění. Na drahách neodpovídajících celočíselným násobkům vlnových délek dochází při pohybu elektronu k rušivým interferencím de Broglieho vln, což způsobuje jejich zánik. Pouze při délce dráhy rovné celočíselným násobkům nedochází k rušivým interferencím, neboť vlny na sebe po uběhnutí odpovídající dráhy plynule navazují.

Z tohoto předpokladu je vidět způsob, jakým byly do planetárního modelu zavedeny kvantově mechanická pravidla. Stále se totiž vychází z předpokladu, že elektron se pohybuje po určitých přesně daných drahách s jistými rychlostmi, které určujeme prostřednictvím klasické fyziky. Tyto rychlosti jsou však využity k určení vlnové délky elektronu, což je vlastnost kterou zavádí kvantová fyzika.

Podle předpokladu má být tedy délka (kruhové) dráhy o poloměru $r$ , jejíž délka je $2π r$ , rovna $n$ -násobku de Broglieho vlnové délky $λ$ , tzn.

n λ = 2π r n

kde $n = 1,2,3,...$ označujeme jako kvantové číslo dráhy. Přičemž $r n$ označuje poloměr dráhy, která obsahuje $n$ vlnových délek. Tuto podmínku pro stabilní dráhy elektronů zapisujeme také ve tvaru

2π m r n v n = n h

kde $v n$ označuje rychlost elektronu při pohybu na dráze o poloměru $r n$ .

Dosazením podmínky stability do původního výrazu pro de Brogliho vlnovou délku elektronu získáme pro poloměr dráhy $r n$ výraz

$r_n = \frac{n^2h^2\varepsilon_0}{\pi me^2}$

Poloměr dráhy pro $n = 1$ se obvykle označuje jako Bohrův poloměr vodíkového atomu $a 0$ , tzn.

$a_0 = r_1 = 5,3\cdot 10^{-11} \mbox{m}$

Pomocí Bohrova poloměru lze pak psát

r n = n 2 a 0

Je vidět, že poloměry drah, po nichž se elektron pohybuje, nabývají pouze diskrétních hodnot, což je jeden z důsledků aplikace kvantových zákonů.

[editovat] Energie elektronu

Celková energie $E$ elektronu je součtem jeho kinetické energie $E k$ a potenciální energie $E p$ v elektrostatickém poli, tzn.

$E = E_k+E_p = \frac{mv^2}{2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$ .

Dosazením do tohoto vztahu lze energii elektronu v Bohrově modelu lze vyjádřit jako

$E_n = -=\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\left(\frac{1}{n^2}\right)$

pro $n = 1,2,3,...$ . Energie elektronu ve vodíkovém atomu tedy může nabývat pouze diskrétních hodnot, přičemž tyto hodnoty jsou záporné, tzn. jedná se o vázané stavy. Hodnoty energie získané na základě předchozího vztahu označujeme jako energetické hladiny vodíkového atomu. O diskrétních energetických hladinách vodíkového atomu říkáme, že jsou kvantovány. Nejnižší energetickou hladinu $E 1$ označujeme jako základní stav atomu. Velikost hodnoty energie základního stavu, tedy $R=|E_1|=13,6 \mbox{eV} =2,17\cdot 10^{-18} \mbox{J}$ , představuje vhodnou jednotku při studiu atomů a molekul a označujeme ji jako Rydbergovu konstantu. Vyšší hladiny, tzn. $E 2, E 3, E 4$ atd. pak označujeme jako stavy excitované (vzbuzené). Atomy nacházející se v excitovaném stavu označujeme jako excitované (vzbuzené) atomy. Pro $n\to\infty$ se energie elektronu blíží nule, tzn. $E_\infty\to 0$ . Vzdálenost mezi sousedními energetickými hladinami se se zvyšujícím se $n$ zmenšuje.

[editovat] Přechod elektronu mezi drahami

Přechod elektronu mezi dvěma drahami s kvantovými čísly $n i$ a $n f$ je spojen se změnou energie elektronu. Tato změna energie je zajištěna vyzářením nebo pohlcením fotonu. Frekvence tohoto fotonu je dána vztahem

$\nu = \frac{E_i-E_f}{h} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^3}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)$

kde $E i$ je energie elektronu v počátečním stavu (stav s kvantovým číslem $n i$ ) a $E f$ je energie elektronu v konečném stavu (stav s kvantovým číslem $n f$ ). Uvedený vztah bývá označován jako Rydbergova formule (Rydbergův vztah).

Energii fotonů při excitaci vodíkových atomů potvrzuje pozorování jeho čárových spekter.

[editovat] Čárová spektra atomu vodíku

Podle předchozího vztahu bude světlo vyzařované vodíkovým atomem v excitovaném stavu obsahovat pouze určité frekvence $ν$ . Poněvadž frekvence $ν$ musí být větší než nula, musí být také $n i > n f$ , tedy počáteční kvantové číslo musí být větší než konečné. Tato podmínka samozřejmě platí pouze při vyzáření fotonu, tedy při přechodu z vyššího (tj. excitovaného) kvantového stavu do stavu nižšího. Při pohlcení fotonu elektronem vodíkového atomu dochází k opačnému procesu, tzn. přechodu elektronu do vyššího stavu, a podmínka je opačná. Platí přitom, že energie fotonu vyzářeného při přechodu atomu z excitovaného kvantového stavu $n 1$ do nižšího stavu $n 2$ má stejnou velikost jako energie fotonu nutného k excitaci atomu ze stavu $n 2$ do stavu $n 1$ .

Předpokládejme, že vodíkový atom je v excitovaném stavu s kvantovým číslem $n i$ a přechází do kvantového stavu $n f$ . Pro vlnové délky přechodu do základního stavu $n f = 1$ pak dostáváme

$\frac{1}{\lambda} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2ch^3}\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2}\right)$ ,

kde $n = n i = 2,3,4,...$ . Při přechodu elektronu vodíkového atomu do základního stavu tedy můžeme pozorovat pouze vlnové délky určené tímto vztahem. Tato skupina vlnových délek se označuje jako Lymanova série. Jako série se přitom označuje skupina vlnových délek příslušejících určitému konečnému kvantovému stavu $n f$ .

Při přechodu excitovaného vodíkového atomu do stavu $n f = 2$ dostaneme vlnové délky

$\frac{1}{\lambda} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2ch^3}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ ,

kde $n = n i = 3,4,5,...$ . Tuto skupinu vlnových délek označujeme jako Balmerova série.

Při přechodu excitovaného vodíkového atomu do stavu $n f = 3$ dostaneme vlnové délky

$\frac{1}{\lambda} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2ch^3}\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ ,

kde $n = n i = 4,5,6,...$ . Tuto skupinu vlnových délek označujeme jako Paschenova série.

Při přechodu excitovaného vodíkového atomu do stavu $n f = 4$ dostaneme vlnové délky

$\frac{1}{\lambda} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2ch^3}\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ ,

kde $n = n i = 5,6,7,...$ . Tuto skupinu vlnových délek označujeme jako Brackettova série.

Při přechodu excitovaného vodíkového atomu do stavu $n f = 5$ dostaneme vlnové délky

$\frac{1}{\lambda} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2ch^3}\left(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ ,

kde $n = n i = 6,7,8,...$ . Tuto skupinu vlnových délek označujeme jako Pfundova série.

Při přechodu mezi vyššími kvantovými stavy lze samozřejmě využít původní obecný vztah.

Zachycení volného elektronu odpovídá přechodu $n_i\to\infty$ do stavu $n f = n$ . Pro vlnovou délku takového přechodu pak dostaneme

$\frac{1}{\lambda} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2ch^3 n^2}$

Tato vlnová délka určuje pro různá $n$ tzv. hranu série, neboť se jedná o maximální vlnovou délku, kterou lze zachytit při přechodu v rámci dané série.

Spektrální čáry vznikající při přechodu z vyššího stavu do nižšího jsou způsobeny vyzářením (emisí) fotonu a označujeme je tedy jako emisní. Emisní čáry lze pozorovat např. při vzbuzení plynu prostřednictvím elektrického proudu. K přechodu z nižšího stavu do stavu vyššího je nutné atom vybudit (excitovat) prostřednictvím dopadajícího fotonu. Takto vznikající spektrální čáry označujeme jako absorpční. Absorpční spektrální čáry lze pozorovat např. při průchodu bílého světla plynem, kdy dochází k pohlcování pouze některých vlnových délek.

[editovat] Bohrovy postuláty

Předpoklady, na nichž je postaven Bohrův model atomu lze shrnou do tzv. Bohrových postulátů.

I. postulát

Elektron může kolem atomového jádra obíhat pouze po některé z kruhových drah, které splňují podmínku

n λ = 2π r n

resp.

2π m r n v n = n h

II. postulát

Při pohybu po stabilní dráze elektron samovolně nemění svoji energii, tzn. nepřijímá ji ani nevydává.

III. postulát

Při přechodu elektronu na jinou stabilní dráhu dochází k vyzáření nebo pohlcení fotonu o frekvenci určené vztahem

$\nu = \frac{E_i-E_f}{h} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^3}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)$

[editovat] Nedostatky modelu

Bohrův model si zachoval dobré vlastnosti z planetárního modelu a podařilo se mu stabilizovat pohyb elektronů kolem atomového jádra. Jeho velkým úspěchem bylo objasnění původu spektrálních čar atomu vodíku. Při řešení složitějších atomů však tento model nebyl úspěšný a byl nahrazen plně kvantovým modelem atomu.

Diskrétní spektrum spektrálních čar bylo pozorováno ještě před vznikem Bohrova modelu atomu. Schopnost objasnit podstatu těchto čar byla tedy jednou z příčin pro přijetí Bohrova modelu. Potíže Bohrova modelu, které vyplývaly z kombinace klasické a kvantové fyziky, umožnily jeho aplikaci pouze na atom vodíku. Spektra složitějších atomů však byla prostřednictvím tohoto modelu neřešitelná. Tyto problémy se podařilo odstranit až v plně kvantovém modelu atomu.

[editovat] Pohyb atomového jádra

V Bohrově modelu vodíkového atomu můžeme uvažovat atomové jádro jako nehybné, neboť hmotnost elektronu je výrazně menší než hmotnost jádra (protonu), tzn. $m_e\ll m_p$ . Pohyb jádra však může ovlivňovat chování atomu.

Uvažujme tedy, že elektron a proton konají ve vodíkovém atomu pohyb kolem společného těžiště. Označme vzdálenost těžiště od elektronu jako $r e$ a od protonu jako $r p$ . Těžiště bude vzhledem k symetrii problému ležet na spojnici protonu a elektronu a mezi oběma částicemi, tzn.

r e + r p = r

kde $r$ představuje vzdálenost mezi protonem jádra a elektronem. Určením polohy těžiště získáme vztah

m e r e - m p r p = 0

Řešením předchozích rovnic dostaneme

$r_e = \frac{m_pr}{m_p+m_e}$

$r_p = \frac{m_er}{m_p+m_e}$

Obě částice se kolem společného těžiště pohybují stejnou úhlovou rychlostí $ω$ . Pro moment hybnosti atomu vzhledem k těžišti, který je součtem momentu hybnosti elektronu a jádra, dostáváme

$L = m_e\omega r_e^2 + m_p\omega r_p^2$

Bohrův první postulát však omezuje možné hodnoty momentu hybnosti atomu podmínkou $L=n\hbar$ . Užitím této podmínky lze z předchozích vztahů získat po úpravě výraz

$L = \frac{m_em_p}{m_p+m_e}\omega r^2 = m^\prime\omega r^2=n\hbar$ ,

kde $m^\prime$ označuje tzv. redukovanou hmotnost vyjadřovanou výrazem

$m^\prime = \frac{m_em_p}{m_p+m_e}$

Podmínku rovnováhy sil nahradíme výrazem

$m_e\omega^2r_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$

a po dosazení do tohoto vztahu dostaneme

$\frac{m_em_p}{m_p+m_e}\omega^2r = m^\prime\omega^2r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$

Odtud pak lze vyjádřit energetické hladiny výrazem

$E_n = -\frac{m^\prime e^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\left(\frac{1}{n^2}\right)$

Vzhledem k tomu, že $m^\prime<m_e$ , neboť $\frac{m^\prime}{m_e}=\frac{m_p}{m_p+m_e}=\frac{1836}{1837}=0,99945$ , dojde ke zvýšení energetických hladin přibližně o $0,005$ procenta. Započtení pohybu atomového jádra také umožňuje přesnější určení vlnových délek spektrálních čar.

Přestože je vliv pohybu jádra velmi malý, umožnil odlišení izotopu vodíku označovaného jako deuterium, které ve svém jádře obsahuje kromě protonu také neutron. Redukovaná hmotnost deuteria se totiž poněkud odlišuje od redukované hmotnosti obyčejného vodíku, což vede ke změně energetických hladin a tedy také posunutí spektrálních čar. Posunutí spektrálních čar je však dostatečné, aby na jeho základě bylo možné odlišit obyčejný vodík od deuteria.

[editovat] Související články

Kategorie: Fyzika částic | Fyzikální konstanty

Bohrův model atomu v jiných jazycích: Aragonés, العربية, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Español, Eesti, Euskara, فارسی, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Bahasa Indonesia, Italiano, 日本語, Қазақша, 한국어, Lietuvių, Latviešu, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Bohr%C5%AFv_model_atomu“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 23. 8. 2008 v 23:37.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).