Sinová věta

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ .

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“

Větu lze ovšem zformulovat také takto:

$\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ , či takto: $\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}$ , nebo takto: $\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$ ,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

[editovat] Důkaz věty

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky v_c. Pak

$\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha$

a zároveň

$\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta$ .

Pak tedy

$a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha$ ,

což je totéž jako

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ .

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

[editovat] Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d$

z čehož lze odvodit také její poloměr

$\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r$

[editovat] Související články

Sinová věta v jiných jazycích: العربية, Български, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, English, Esperanto, Español, Suomi, Français, עברית, Magyar, Bahasa Indonesia, Italiano, 日本語, 한국어, Bahasa Melayu, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Sinov%C3%A1_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 7. 2008 v 02:02.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).