Sinus

Sinus je patrně nejznámější goniometrická funkce. V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr protilehlé odvěsny a přepony. Pro označení této funkce se obvykle používá zkratka sin a jejím grafem je sinusoida.

Obsah

1 Vlastnosti
2 Sinus v komplexním oboru
3 Související články
4 Externí odkazy

[editovat] Vlastnosti

Funkce $y=\sin x\,\!$ má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

Definiční obor: $\mathbb{R}$ (reálná čísla)
Obor hodnot: $\langle-1;1\rangle$
Rostoucí: v každém intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$
Klesající: v každém intervalu $\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi; -\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$
Maximum = Supremum: $1$ $(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi)$
Minimum = Infimum: $- 1$ $(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi)$
Derivace: $y'=\cos x\,\!$
Integrál: $\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c, c \in\mathbb{R}$
Taylorův polynom: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$
Inverzní funkce: arkus sinus (arcsin)
Sinus je funkce:
- lichá
- omezená shora i zdola
- periodická s periodou $2 k π$

[editovat] Sinus v komplexním oboru

Funkce sinus je v komplexních číslech definována součtem řady

$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},$

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z₁,z₂ platí:

$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$

$\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,$

$\sin iz = i \sinh z,\,$

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Sinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Související články obsahuje
Portál Matematika

Funkce Sinus na Matematice pro každého
Sinus v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Vzorce obsahující sinus na functions.wolfram.com (anglicky)

Kategorie: Matematické funkce | Goniometrie

Sinus v jiných jazycích: Bosanski, Dansk, Deutsch, Eesti, Bahasa Indonesia, Italiano, Ripoarisch, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Slovenčina, Српски / Srpski, Svenska

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Sinus“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 18. 10. 2008 v 13:39.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).