Slabá kardinální mocnina

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Obsah

1 Definice
2 Motivace pro zavedení
3 Příklad použití
4 Související články

[editovat] Definice

Jsou-li $\kappa \,\!$ a $\lambda \,\!$ dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem $\kappa^{<\lambda} \,\!$ a definujeme vztahem
$\kappa^{<\lambda} = \sum_{\mu < \lambda} \kappa^{\mu} \,\!$ , tj. jako součet všech kardinálních mocnin $\kappa \,\!$ s exponentem menším než $\lambda \,\!$ .

[editovat] Motivace pro zavedení

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

$[X]^{\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| = \lambda \} \,\!$
$[X]^{<\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| < \lambda \} \,\!$

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny $X \,\!$ s mohutností přesně $\lambda \,\!$ a množina všech podmnožin množiny $X \,\!$ s mohutností menší než $\lambda \,\!$

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí $|X| = \kappa \,\!$ a $\lambda \leq \kappa^{+} \,\!$ (symbol $\kappa^{+} \,\!$ je nejmenší kardinální číslo větší než $\kappa \,\!$ ), potom
$|[X]^{<\lambda}| = \kappa^{<\lambda} \,\!$

[editovat] Příklad použití

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li $\aleph_{\alpha} \,\!$ singulární kardinál, $\beta < \alpha \,\!$ takové, že pro každé $\beta \leq \gamma < \alpha \,\!$ platí $\aleph_{\gamma} = \aleph_{\beta}$ , potom
$2^{\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\beta}} = 2^{<\aleph_{\alpha}} \,\!$

Je-li $\aleph_{\alpha} \,\!$ singulární kardinál a pro každé $\beta < \alpha \,\!$ existuje $\beta < \gamma < \alpha \,\!$ , pro které platí $\aleph_{\gamma} > \aleph_{\beta}$ , potom
$2^{\aleph_{\alpha}} = \gimel(2^{<\aleph_{\alpha}}) \,\!$

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Kategorie: Kardinální čísla

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Slab%C3%A1_kardin%C3%A1ln%C3%AD_mocnina“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 8. 5. 2007 v 11:47.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).