Soustava lineárních rovnic

V matematice a lineární algebře se jako soustava lineárních rovnic označuje množina lineárních rovnic. Například

3x₁ + 2x₂ − x₃ = 1

2x₁ − 2x₂ + 4x₃ = −2

−x₁ + ½x₂ − x₃ = 0.

Úkolem při řešení je najít takové hodnoty x₁, x₂ a x₃ pro které platí všechny rovnice zároveň.

Obsah

1 Použití
2 Zápis
3 Homogenní a nehomogenní soustava lineárních rovnic
4 Řešení soustavy lineárních rovnic
- 4.1 Řešitelnost
  - 4.1.1 Frobeniova věta
- 4.2 Metody
5 Související články

[editovat] Použití

Řešení soustav lineárních rovnic patří v matematice k nejstarším problémům a má mnoho aplikací, například při odhadování, v předpovědích a v lineárním programování.

[editovat] Zápis

Obecně může být soustava m lineárních rovnic s n proměnnými zapsána jako

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

kde proměnné x₁, … ,x_n jsou neznámé a a_ij jsou koeficienty soustavy rovnic. Čísla $b i$ , kde $i = 1,2,..., m$ , jsou absolutní členy soustavy (nebo také tzv. pravá strana soustavy). V obecném případě mohou být koeficienty i absolutní členy komplexními čísly.

Koeficienty lze zapsat ve tvaru matice:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Tuto matici označujeme jako matici soustavy.

Neznámé a pravou stranu soustavy je možné vyjádřit jako vektory

$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Celou soustavu rovnic je tedy možné vyjádřit jako

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

nebo zkráceně v maticovém zápisu

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B}$ ,

popř. ve složkovém zápisu

$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i$ ,

pro $i = 1,2,..., m$ .

Pro řešení soustavy lineárních rovnic se také využívá tzv. rozšířená matice soustavy

$\mathbf{A}^\prime = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$

[editovat] Homogenní a nehomogenní soustava lineárních rovnic

Pokud jsou všechna $b i = 0$ , lze soustavu zapsat jako

$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = 0$

pro $i = 1,2,..., m$ , nebo také

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{0}$

Takovou soustavu označujeme jako homogenní. Pokud je alespoň jedno $b i$ nenulové, hovoříme o nehomogenní soustavě lineárních rovnic.

[editovat] Řešení soustavy lineárních rovnic

[editovat] Řešitelnost

Pro řešení nehomogenní soustavy nad nekonečným tělesem (což jsou například reálná či komplexní čísla může nastat pouze jeden z těchto případů:

soustava nemá řešení
soustava má jedno řešení
soustava má nekonečně mnoho řešení

Homogenní soustava lineárních algebraických rovnic má vždy triviální řešení, tzn. $x i = 0$ pro všechna i.

Některé z rovnic nehomogenní soustavy mohou být lineární kombinací ostatních rovnic soustavy. Tyto rovnice lze označit jako nadbytečné (nadpočetné). Tyto rovnice nekladou na řešení soustavy žádné další podmínky, takže je lze ze soustavy rovnic vyloučit (eliminovat). Tento postup lze opakovat, aby upravená soustava rovnic obsahovala pouze rovnice lineárně nezávislé. Označíme-li počet lineárně nezávislých rovnic $m^\prime$ , pak $m^\prime \leq m$ , kde $m$ je počet rovnic původní soustavy.

Mezi lineárně nezávislými rovnicemi mohou být některé, které jsou vzájemně rozporné, tzn. levou stranu některé z rovnic lze vyjádřit jako lineární kombinaci levých stran ostatních rovnic, avšak pravá strana dané rovnice není stejnou lineární kombinací pravých stran. Soustavu lze tedy zapsat tak, že bude obsahovat dvě rovnice, jejichž levé strany jsou stejné, avšak pravé strany jsou rozdílné. Takováto soustava je vnitřně rozporná a nemá žádné řešení.

K obdobnému rozporu může dojít v případě, že počet lineárně nezávislých rovnic soustavy je větší než počet neznámých. Taková, tzv. přeurčená soustava také nemá žádné řešení.

[editovat] Frobeniova věta

Soustava lineárních rovnic má řešení pouze v případě, je-li vnitřně bezrozporná a současně je maximální počet lineárně nezávislých rovnic menší nebo roven počtu neznámých. Tuto podmínku zachycuje tzv. Frobeniova věta, podle níž má nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic alespoň jedno řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy $h(\mathbf{A})$ je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy $h(\mathbf{A}^\prime)$ , tzn.

$h({A}) = h({A}^\prime)$ .

[editovat] Metody

[editovat] Související články

Kategorie: Lineární algebra | Rovnice

Soustava lineárních rovnic v jiných jazycích: العربية, Bosanski, Català, Deutsch, English, Esperanto, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, Hrvatski, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Polski, Português, Русский, Српски / Srpski, Svenska, اردو, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Soustava_line%C3%A1rn%C3%ADch_rovnic“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 22. 11. 2008 v 23:52.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).