Soustava rovnic

Soustava rovnic je úloha, při níž máme nalézt řešení systému rovnic

F 1 (x 1, x 2,..., x n) = 0

F 2 (x 1, x 2,..., x n) = 0

…

F m (x 1, x 2,..., x n) = 0

kde $F 1, F 2,..., F m$ jsou libovolné funkce $n$ proměnných $x 1, x 2,..., x n$ .

Uvedenou soustavu rovnic lze také zapsat ve tvaru

$\mathbf{F}(x_1,x_2,...,x_n) = 0$ ,

kde $\mathbf{F}$ označuje vektorovou funkci, jejímiž složkami jsou funkce $F 1 (x 1, x 2,..., x n)$ , $F 2 (x 1, x 2,..., x n)$ , …, $F m (x 1, x 2,..., x n)$ .

[editovat] Řešení soustavy rovnic

Jako řešení soustavy rovnic označíme každou uspořádanou n-tici $(y 1, y 2,..., y n)$ , která vyhovuje dané soustavě rovnic.

Existuje-li řešení $y i = 0$ pro všechna $i$ , pak takové řešení označujeme jako triviální. Pokud je alespoň jedno $y i$ nenulové, pak hovoříme o netriviálním řešení.

[editovat] Ekvivalentní soustavy rovnic

Dvě soustavy rovnic jsou ekvivalentní, pokud každé řešení první soustavy je také řešením soustavy druhé a každé řešení druhé soustavy je řešením soustavy první.

Soustavu rovnic lze převést na ekvivalentní soustavu rovnic pomocí tzv. ekvivalentních úprav. Nejběžnějšími ekvivalentními úpravami jsou:

úpravy převádějící jednu z rovnic soustavy na rovnici ekvivalentní
záměna pořadí rovnic v soustavě
přidání (nebo vynechání) rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic soustavy
přičtení lineární kombinace zbývajících rovnic soustavy k jedné z rovnic soustavy

[editovat] Zkouška

Po nalezení řešení soustavy rovnic provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní soustavy rovnic. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní soustavy rovnic.

[editovat] Druhy soustav

V obecném případě mohou jednotlivé rovnice, z nichž se soustava skládá, být jak algebraické tak i nealgebraické. V obecném případě je tedy řešení soustavy složité a obvykle je možné jej určit pouze numerickými metodami.

O něco jednodušší situace je v případě soustavy algebraických rovnic, což je soustava rovnic

F 1 (x 1, x 2,..., x n) = 0

F 2 (x 1, x 2,..., x n) = 0

…

F m (x 1, x 2,..., x n) = 0

kde $F 1, F 2,..., F m$ jsou libovolné algebraické funkce $n$ proměnných $x 1, x 2,..., x n$ .

Nejjednodušším případem je pak soustava lineárních algebraických rovnic.

Soustavy rovnic mohou obsahovat také diferenciální nebo integrální rovnice.

[editovat] Související články

Rovnice

[editovat] Externí odkazy

Řešení soustavy rovnic online

Související články obsahuje
Portál Matematika

Kategorie: Rovnice

Soustava rovnic v jiných jazycích: العربية, Dansk, Deutsch, English, Esperanto, Español, Suomi, Français, हिन्दी, Italiano, 한국어, Latina, Polski, Svenska

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Soustava_rovnic“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 17. 7. 2008 v 21:23.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).