Lorentzova transformace

(Přesměrováno z Speciální Lorentzova transformace, přímý odkaz na Lorentzova transformace)

Lorentzova transformace je soustava rovnic umožňující pomocí souřadnic x, y, z, t nějaké události U v inerciální vztažné soustavě S vyjádřit souřadnice x' , y' , z' , t' téže události v jiné inerciální vztažné soustavě S' , která se vzhledem k původní soustavě S pohybuje rychlostí v. Podle týchž pravidel jako události se transformují i všechny ostatní čtyřvektory.

Poprvé je odvodil holandský fyzik Hendrik Antoon Lorentz, který tak ukázal, že základní rovnice elektromagnetismu jsou stejné ve všech vztažných soustavách, které se vůči sobě pohybují neměnnou rychlostí, právě při použití těchto transformačních vztahů.

Obsah

1 Odvození
2 Speciální Lorentzova transformace
3 Inverzní speciální Lorentzova transformace
4 Maticový zápis
5 Aspekty Lorentzových transformací
6 Související články
7 Externí odkazy

[editovat] Odvození

Nákres vzájemné polohy vztažných soustav S a S'.

Při hledání vhodné transformace, která odpovídá přechodu od jedné inerciální soustavy ke druhé, se vychází z dvou základních postulátů speciální teorie relativity:

1. postulát: Všechny fyzikální zákony lze vyjádřit rovnicemi, jež mají stejný tvar ve všech vztažných soustavách pohybujících se navzájem konstantní rychlostí.

2. postulát: Rychlost světla ve vakuu má pro všechny pozorovatele stejnou hodnotu, bez ohledu na jejich pohybový stav.

Zároveň se bere v úvahu fakt, že pro malé rychlosti je skutečnost dobře vystižena Galileovými transformacemi. Proto musí mít hledané transformační formule takový tvar, aby pro vzájemné rychlosti $v \ll c$ přešly v Galileovy transformace. Pokud vezmeme v úvahu tyto požadavky, jeví se jako nejvhodnější předpokládat transformační vzorce ve tvaru:

(1) $x^\prime = k(x - vt)$

Protože budeme pro jednoduchost předpokládat pohyb ve směru osy x, budou transformační vzorce pro souřadnice y a z následující:

(2) $y^\prime = y$

(3) $z^\prime = z$

Jelikož fyzikální rovnice musí mít stejný tvar v soustavě S i S' , stačí k napsání obrácené závislosti x na x' a t' jen změnit znaménko u rychlosti v (tím se bere v úvahu odlišnost ve směru relativního pohybu).

(4) $x = k(x^\prime + vt^\prime)$

Faktor k musí být v obou vztažných soustavách stejný, protože soustavy S a S' se až na znaménko u v v ničem neliší.

Po dosazení vztahu (1) do vztahu (4)

(5) $x = k^2(x - vt) + kvt^\prime$

je vidět, že časové souřadnice t a t' nejsou stejné:

(6) $t^\prime = kt + \left( \frac{1 - k^2}{kv} \right)x$

Rovnice (1), (2), (3) a (6) tvoří transformaci souřadnic vyhovující prvnímu postulátu speciální teorie relativity. Druhý postuált umožňuje vypočítat faktor k. Vychází se z předpokladu, že se v okamžiku t = 0 počátky dvou vztažných soustav S a S' nachází v témže bodě, proto i čas t' = 0. Předpokládejme, že v tomto společném počátku, kdy S = S' a v čase t = t' = 0 zažehne světlice, a pozorovatelé v obou soustavách měří rychlost, kterou se světlo z místa šíří. Pozorovatelé v obou soustavách musí pro světlo zjistit totožnou rychlost, což v soustavě S je:

(7) $x = c \cdot t$

a v soustavě S' :

(8) $x^\prime = c \cdot t^\prime$

Dosazením za x' a t' do vztahu (8) s použitím vztahů (1) a (6) dává vztah:

(9) $k(x - vt) = ckt + \left( \frac{1 - k^2}{kv} \right)cx$ ;

přičemž řešení vzhledem k x je:

$x = \frac{ckt + vkt}{k - \Big[\frac{(1-k^2)}{kv}\Big]c} = ct \Bigg\{{\frac{k + \frac{vk}{c}}{k - \Big[\frac{(1-k^2)}{kv}\Big]c}}\Bigg\} = ct \Bigg[\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - (k^{-2} - 1)\frac{c}{v}}\Bigg]$ ;

Aby byl výraz pro x shodný se vztahem (7), musí platit:

(10) $\Bigg[\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - (k^{-2} - 1)\frac{c}{v}}\Bigg] = 1$

Z toho vychází faktor k:

(11) $k = \frac{1}{ \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

Po dosazení hodnoty k do vztahů (1) a (6) vycházejí pro úplnou transformaci od výsledků měření dané události v S k odpovídajícím výsledkům měření v S' rovnice:

[editovat] Speciální Lorentzova transformace

$x^\prime = \frac{x - vt}{\sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

$y^\prime = y$

$z^\prime = z$

$t^\prime = \frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

Pro zjednodušení zápisu se často zavádí bezrozměrná rychlost $β$ a tzv. Lorentzův faktor $γ$ vztahy:

$\beta \equiv {v\over c} \,,$

$\gamma \equiv {1 \over \sqrt{1-\beta^2}} \,.$

Počítáme-li navíc v přirozených jednotkách, kde $c = 1$ , můžeme speciální Lorentzovu transformaci zapsat stručněji s důrazem na fyzikální význam.

$x^\prime = \gamma\left(x - vt\right)$

$y^\prime = y$

$z^\prime = z$

$t^\prime = \gamma\left(t - {vx}\right)$

[editovat] Inverzní speciální Lorentzova transformace

Při transformaci výsledků měření z S' do S je nutno zaměnit čárkované veličiny nečárkovanými a naopak a dosazení −v za v. Vzniká tak inverzní speciální Lorentzova transformace:

$x = \frac{x^\prime + vt^\prime}{\sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

$y = y^\prime$

$z = z^\prime$

$t = \frac{t^\prime + \frac{vx^\prime}{c^2}}{\sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

[editovat] Maticový zápis

Maticový zápis předchozích rovnic pouze ve směru $x$ vypadá:

$\begin{bmatrix} c t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0\\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}\ .$

Při přechodu k jiné inerciální soustavě je nutno všechny čtyřvektory vynásobit uvedenou maticí, kterou obvykle označujeme $Λ$ . Determinant $Λ$ je roven +1, což značí, že jde o rotaci ve 4-rozměrném Minkowského prostoru.

Není-li směr pohybu druhé soustavy stejný jako směr osy $x$ v původní soustavě, používáme obecnou verzi Lorentzovy transformace:

$\begin{bmatrix} c\,t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\ -\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\ -\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\ -\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}\ .$

kde $β$ je bezrozměrná rychlost (resp. $β x$ , $β y$ , $β z$ její složky ve směru původních os) a $γ$ je Lorentzův faktor.

[editovat] Aspekty Lorentzových transformací

Měření času i polohy závisí na vztažné soustavě pozorovatele. Tudíž dvě události, které se v jedné vztažné soustavě vyskytují na dvou různých místech současně, nemusí být současné v soustavách jiných (tzv. relativita současnosti).

Lorentzovy transformace se za běžných rychlostí (je-li relativní rychlost v soustav S a S' malá ve srovnání s rychlostí světla) redukují na Galileiho transformace.

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

(en)Lorentzova transformace na MathWorldu

Kategorie: Relativistická fyzika

Lorentzova transformace v jiných jazycích: العربية, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, Galego, עברית, Italiano, 日本語, 한국어, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Slovenčina, Slovenščina, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Lorentzova_transformace#Speci.C3.A1ln.C3.AD_Lorentzova_transformace“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 7. 11. 2008 v 13:41.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).