Spirála

Spirála je rovinná křivka, která představuje trajektorii bodů pohybujících se po přímce podle daného pravidla, zatímco přímka se otáčí konstantní rychlostí kolem pevného bodu.

Jedná se tedy o množiny bodů, jejichž vzdálenost $ρ$ od pevného bodu $O$ je funkcí velikosti úhlu $α$ , který svírá rádiusvektor bodu spirály s pevně danou polopřímkou s počátkem v bodě $O$ . K popisu spirál je tedy vhodné vyjádření v polárních souřadnicích $ρ = f (α)$ .

[editovat] Archimédova spirála

Archimédova spirála

Pokud se bod pohybuje po přímce rovnoměrně, pak jeho vzdálenost je úměrná úhlu, tzn.

ρ = k α

kde $k > 0$ je koeficient úměrnosti. Taková spirála se nazývá Archimédovou spirálou.

Délku oblouku Archimédovy spirály lze určit ze vztahu

$s = \frac{k}{2}\left(\alpha\sqrt{\alpha^2+1} + \operatorname{arcsinh}\alpha\right)$

Poloměr křivosti Archimédovy spirály je

$R = \frac{{(k^2+\rho^2)}^\frac{3}{2}}{2k^2+\rho^2} = \frac{k{(\alpha^2+1)}^\frac{3}{2}}{\alpha^2+2}$

[editovat] Logaritmická spirála

Logaritmická spirála

U logaritmické spirály se bod pohybuje tak, že dráhy které urazí za stejné časové úseky, tvoří geometrickou posloupnost. Logaritmická spirála protíná všechny přímky vycházející z počátku pod stejným úhlem $β$ . Logaritmickou spirálu lze vyjádřit rovnicí

ρ = a e k α

kde $a, k$ jsou kladná čísla, přičemž platí $\operatorname{cotg}\beta=k$ .

Délku oblouku logaritmické spirály mezi dvěma body ve vzdálenostech $ρ 1$ a $ρ 2$ udává vztah

$s = \frac{1}{k}\left|\rho_2-\rho_1\right|\sqrt{1+k^2} = \left|\rho_2-\rho_1\right|\cos\beta$

Pro poloměr křivosti logaritmické spirály pak platí

$R = \rho\sqrt{1+k^2}$

Logaritmická spirála se častou používá v technické praxi a námořnictví.

[editovat] Hyperbolická spirála

Hyperbolická spirála

Hyperbolická spirála je určena rovnicí

$\rho = \frac{k}{\alpha}$

pro $k > 0$ .

Hyperbolická spirála má asymptotu $y = k$ .

[editovat] Související články

Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

Spirála

Kategorie: Křivky

Spirála v jiných jazycích: Български, Bosanski, Deutsch, English, Esperanto, Español, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Italiano, 日本語, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Português, Русский, Slovenčina, Slovenščina, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Spir%C3%A1la“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 29. 11. 2008 v 13:41.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).