Bezesporná teorie

Bezesporná teorie (také konzistentní teorie), sporná teorie a spor jsou důležité pojmy matematickologické syntaxe. Bezespornost nějaké formální teorie je základní vlastností, kterou od ní požadujeme - spolu s požadavky úplnosti a rekurzivní axiomatizovanosti tvořila bezespornost trojici nároků, které David Hilbert ve svém tzv. Hilbertově programu kladl na teorii, která by měla být „světem matematiky“ (tj. takovou teorii, v níž by byly všechny ostatní matematické teorie interpretovatelné). Nemožnost provedení Hilbertova programu prokázal Kurt Gödel ve svých slavných větách o neúplnosti.

[editovat] Definice

Řekneme, že teorie je sporná, je-li v ní dokazatelná nějaká sentence (tj. uzavřená formule) i její negace. Není-li teorie sporná, říkáme, že je bezesporná neboli konzistentní. Za spor v teorii T považujeme každou formuli, která je v T dokazatelná spolu se svojí negací.

[editovat] Vlastnosti

Následující vlastnosti teorie T jsou ekvivalentní (v logice s rovností):

• T je sporná.
• V T je dokazatelná každá sentence.
• V T je dokazatelná sentence
• Nějaká konečná podteorie T je sporná.
• Neexistuje model T. (viz Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky)

Tedy teorie obsahující spor je v „klasické“ logice nejsilnější teorií (ve smyslu velikosti množiny dokazatelných formulí), neboť dokazuje každé tvrzení. Dále platí:

• Rekurzivně axiomatizovaná bezesporná teorie obsahující Peanovu aritmetiku je neúplná. To je tvrzení první Gödelovy věty o neúplnosti.

[editovat] Související články

Související články obsahuje Portál Matematika

• Úplná teorie
• Formální důkaz
• Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky
• Gödelovy věty o neúplnosti