Invia.cz Last minute Tunisko Dovolená v Chorvatsku Pojeďte do Egypta Bulharsko Vydělávejte peníze s INVIA.CZ

u, 08 Jan 2009 05:06:31 GMT Server: Apache X-Powered-By: PHP/5.2.5 Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate Content-Language: cs Vary: Accept-Encoding,Cookie X-Vary-Options: Accept-Encoding;list-contains=gzip,Cookie;string-contains=cswikiToken;string-contains=cswikiLoggedOut;string-contains=cswiki_session;string-contains=centralauth_Token;string-contains=centralauth_Session;string-contains=centralauth_LoggedOut Last-Modified: Thu, 27 Nov 2008 16:14:04 GMT Content-Length: 24495 Content-Type: text/html; charset=utf-8 X-Cache: MISS from sq21.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from sq21.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq1.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq1.knams.wikimedia.org:80 Via: 1.0 sq21.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq29.knams.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq1.knams.wikimedia.org:80 (squid/2.6.STABLE21) Connection: close Stieltjesův integrál - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Stieltjesův integrál

Stieltjesův integrál je v matematice zobecněním Riemannova (pak jej označujeme jako Riemannův-Stieltjesův integrál), popř. Lebesgueova integrálu (pak jej označujeme jako Lebesgueův-Stieltjesův integrál).

Obsah

1 Definice

1.1 Existence integrálu

1.2 Zobecnění

2 Související články

3 Externí odkazy

[editovat] Definice

Uvažujme dvě konečné funkce $f (x)$ a $g (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ . Tento interval rozdělíme body $x i$ , kde $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n - 1 < x n = b$ , na podintervaly, a v každém z nich vybereme libovolný bod $\xi_i \in \langle x_{i-1},x_i\rangle$ . Sestrojíme součet

$\sigma = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)[g(x_i)-g(x_{i-1})]$

Délku největšího podintervalu (při daném dělení $d$ ) označíme jako normu dělení $d$ , tedy $ν(d) = max i (x i - x i - 1)$ . Konverguje-li suma $σ$ pro $\nu \to 0$ k nějakému číslu $I$ , jehož hodnota nezávisí na způsobu dělení intervalu $\langle a,b\rangle$ a volbě bodů $ξ i$ , pak $I$ nazýváme Stieltjesovým (popř. Riemannovým-Stieltjesovým) integrálem funkce $f$ podle funkce $g$ a zapisujeme

$I= \int_a^b f(x) \mathrm{d}g(x) = \int_a^b f \mathrm{d}g$

Při volbě $g (x) = x$ přechází Stieltjesův integrál na integrál Riemannův.

[editovat] Existence integrálu

Stieltjesův integrál existuje, je-li funkce $f$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ spojitá a pokud má funkce $g$ na tomto intervalu konečnou variaci. Stieltjesův integrál tedy existuje i v případě, kdy funkce $g$ obsahuje body nespojitosti prvního druhu, tzn. skoky.

Pokud je funkce $f$ na $\langle a,b\rangle$ spojitá a funkce $g$ má na tomto intervalu spojitou derivaci, pak Riemannův-Stieltjesův integrál existuje a platí

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}g(x) = \int_a^b f(x) g^\prime(x) \mathrm{d}x$

Riemannův-Stieltjesův integrál existuje také v případě, pokud je funkce $f$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ spojitá a funkce $g$ a $g^\prime$ jsou na tomto intervalu po částech spojité. Označme v takovém případě body nespojitosti funkce $g$ jako $x k$ a velikost skoku funkce $g$ v daném bodě nespojitosti $x k$ jako $s k$ , tzn.

$s_k = g(x_{k+})-g(x_{k-}) = \lim_{x \to x_{k+}}g(x) - \lim_{x \to x_{k-}}g(x)$

Stieltjesův integrál lze pak zapsat ve tvaru

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}g(x) = \int_a^b f(x)g^\prime(x)\mathrm{d}x + \sum_{k=0}^p f(x_k)s_k$ ,

kde $p$ je počet bodů nespojitosti.

[editovat] Zobecnění

Stieltjesův integrál lze založit také na definici Lebesqueovy míry, což vede k zobecnění Stieltjesova integrálu, tzv. Lebesqueovu-Stieltjesovu integrálu.

Podobně lze zobecněním Kurzweilova integrálu získat Kurzweilův-Stieltjesův integrál.

[editovat] Související články

Riemannův integrál

Lebesgueův integrál

Kurzweilův integrál

[editovat] Externí odkazy

Podrobný matematický popis Stieltjesova integrálu
Kategorie: Integrální počet

u, 08 Jan 2009 05:06:31 GMT Server: Apache X-Powered-By: PHP/5.2.5 Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate Content-Language: cs Vary: Accept-Encoding,Cookie X-Vary-Options: Accept-Encoding;list-contains=gzip,Cookie;string-contains=cswikiToken;string-contains=cswikiLoggedOut;string-contains=cswiki_session;string-contains=centralauth_Token;string-contains=centralauth_Session;string-contains=centralauth_LoggedOut Last-Modified: Thu, 27 Nov 2008 16:14:04 GMT Content-Length: 24495 Content-Type: text/html; charset=utf-8 X-Cache: MISS from sq21.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from sq21.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq29.knams.wikimedia.org:3128 X-Cache: MISS from knsq1.knams.wikimedia.org X-Cache-Lookup: MISS from knsq1.knams.wikimedia.org:80 Via: 1.0 sq21.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq29.knams.wikimedia.org:3128 (squid/2.6.STABLE21), 1.0 knsq1.knams.wikimedia.org:80 (squid/2.6.STABLE21) Connection: close Stieltjesův integrál - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Stieltjesův integrál v jiných jazycích: Català, Deutsch, English, Suomi, Français, Italiano, Русский, Svenska

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Stieltjes%C5%AFv_integr%C3%A1l“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 27. 11. 2008 v 16:14.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).

Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy