Sudá a lichá čísla

V matematice je každé celé číslo buď sudé, nebo liché. Pokud je číslo násobkem dvou, je to sudé číslo, jinak je to liché číslo. Sudá čísla jsou tedy např. −4, 0, 12, 76; lichá čísla jsou např. −5, 1, 13, 37. Číslo nula je sudé, neboť je rovno nula-krát dvěma.

Vlastnost čísla být sudým anebo lichým se někdy nazývá parita čísla (a může se chápat i jako číselná hodnota zbytku po dělení čísla dvěma, tzn. parita sudého čísla je nula, parita lichého čísla je jedna).

Množinu všech sudých čísel lze zapsat jako

Sudá = 2Z = { …, −4, −2, 0, 2, 4, … }

Množinu všech lichých čísel pak jako

Lichá = 2Z + 1 = { …, −3, −1, 1, 3, 5, … }

Je vidět, že libovolné sudé číslo je možno vyjádřit ve tvaru 2k, kde k ∈ Z, zatímco libovolné liché číslo je možno vyjádřit jako 2k + 1, opět pro k ∈ Z.

[editovat] Vlastnosti

Číslo je sudé právě tehdy, je-li kongruentní s nulou modulo dvěma, liché právě tehdy, je-li kongruentní s jednou modulo dvěma.

Číslo zapsané v desítkové soustavě je sudé právě tehdy, je-li sudá jeho poslední číslice. Pokud tedy číslo končí jednou z číslic 0, 2, 4, 6, 8, je číslo sudé, jinak je liché. Totéž platí v libovolné jiné k-adické soustavě se sudou bází (např. v binární soustavě končí libovolné sudé číslo nulou). V soustavě s lichou bází má sudé číslo sudý ciferný součet.

Číslo 2 je jediným sudým prvočíslem, všechna ostatní prvočísla jsou lichá.

Podle Goldbachovy hypotézy lze každé sudé číslo napsat jako součet dvou prvočísel. Tato hypotéza byla pomocí počítačů potvrzena pro všechna čísla až do 4×10¹⁴, přesto dosud neexistuje matematický důkaz.

Sudá čísla tvoří v okruhu celých čísel ideál, lichá čísla nikoliv.

Množina sudých čísel je stejně jako množina lichých čísel spočetně nekonečná, což znamená, že každá z nich má stejnou mohutnost jako množina všech celých čísel.

[editovat] Aritmetické vlastnosti

Při provádění některých základních aritmetických operací můžeme paritu výsledku poznat podle parity jednotlivých operandů:

[editovat] Sčítání a odčítání

• sudé ± sudé = sudé
• sudé ± liché = liché
• liché ± sudé = liché
• liché ± liché = sudé

[editovat] Násobení

• sudé × sudé = sudé
• sudé × liché = sudé
• liché × sudé = sudé
• liché × liché = liché

[editovat] Dělení

Dělení dvou celých čísel může mít jako výsledek číslo, které není celé, a proto u něj nelze mluvit o sudosti/lichosti. Někdy je však podíl dvou celých čísel také číslo celé. Platí, že:

• Liché / liché nemůže být sudé.
• Sudé / liché nemůže být liché.
• Liché / sudé nikdy není celé číslo.
• U sudé / sudé záleží na konkrétních číslech.

[editovat] Související články

• Parita
• Sudé a liché funkce