Sudé a liché funkce

V matematice se některé funkce označují jako sudé, některé jako liché funkce. Takové funkce vykazují jisté druhy symetrie. Existuje však mnoho funkcí, které nejsou ani liché, ani sudé.

[editovat] Sudé funkce

Funkce y = x²

Funkce f(x) je sudá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí

f(x) = f(−x)

To znamená, že graf sudé funkce je symetrický podle osy y.

Mezi sudé funkce patří všechny mocninné funkce se sudou mocninou (např. x², x⁻⁴ atp.), dále také například cos x, cosh x atd.

[editovat] Liché funkce

Funkce y = x³

Funkce f(x) je lichá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí

f(−x) = −f(x)

To znamená, že graf liché funkce je symetrický podle počátku soustavy souřadnic.

Mezi liché funkce patří všechny mocninné funkce s lichou mocninou (např. x, x³, x⁻⁵ atp.), dále také např. sin x, sinh x, arctg atd.

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Základní vlastnosti

• Jediná funkce, která je současně sudá i lichá, je konstantní funkce f(x) = 0 pro všechna x.
• Součet liché a sudé funkce obecně není ani lichá ani sudá funkce.
• Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce.
• Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce.
• Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce, součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
• Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
• Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.

[editovat] Řady

• Taylorova řada sudé funkce obsahuje pouze sudé mocniny, Taylorova řada liché funkce obsahuje pouze liché mocniny (odtud název).
• Fourierova řada periodické sudé funkce obsahuje pouze kosinové členy, Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinové členy.

[editovat] Algebraické vlastnosti

• Lineární kombinace sudých funkcí je sudá funkce, sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Obdobně je lineární kombinace lichých funkcí lichá funkce a liché funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Vektorový prostor všech reálných funkcí je direktní součet vektorových prostorů sudých a lichých funkcí, libovolnou funkci lze tedy napsat jako součet liché a sudé funkce:

• Množina sudých funkcí tvoří nad reálnými čísly algebru, množina lichých funkcí nikoliv.

[editovat] Související články

• Sudá a lichá čísla
• Taylorova řada
• Fourierova řada