Sylowovy věty

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele p řádu grupy G existenci podgrup složených z prvků řádu p a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

[editovat] Sylowova p-podgrupa

Sylowovou p-podgrupou grupy G, kde p je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou H ≤ G, že každý prvek H má řád mocniny p a H je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových p-podgrup grupy G se značí Syl_p(G).

[editovat] Znění vět

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

[editovat] První Sylowova věta

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy p-podgrupy G jsou konjugovány (pro P,Q ∈ Syl_p(G) existuje g ∈ G, že P = gQg ^{− 1}) a jejich počet je kp + 1 pro nějaké 0 ≤ k (tj. | Syl_p(G) | ≡ 1 (mod p)).

[editovat] Důsledky

• Všechny Sylowovy p-podgrupy G jsou izomorfní.
• Konečná grupa G obsahuje prvek řádu p pro každé prvočíslo p, které dělí řád G.
• Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny p.

[editovat] Druhá Sylowova věta

Nechť G je konečná grupa řádu n = p^as,kde p je prvočíslo, které nedělí s a a > 0. Pak všechny Sylowovy p-podgrupy G mají řád p^a.

[editovat] Třetí Sylowova věta

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že p^{k + 1} dělí řád G. Nechť dále H je podgrupa G (H ≤ G) řádu p^k. Pak existjuje grupa K řádu p^{k + 1} splňující (tj. H je normální v K).

[editovat] Odkazy

[editovat] Související články

• Lagrangeova věta

[editovat] Literatura

• DRÁPAL, Aleš. Teorie grup – základní aspekty. Praha : Karolinum, 2000. ISBN 80-246-0162-1.