T test

T-test je metodou matematické statistiky, která umožňuje ověřit některou z následujících hypotéz:

1. zda normální rozdělení, z něhož pochází určitý náhodný výběr, má určitou konkrétní střední hodnotu, přičemž rozptyl je neznámý
2. zda dvě normální rozdělení mající stejný (byť neznámý) rozptyl, z nichž pocházejí dva nezávislé náhodné výběry, mají stejné střední hodnoty (resp. rozdíl těchto středních hodnot je roven určitému danému číslu)

V prvním případě může být náhodný výběr tvořen buď jednotlivými hodnotami (pak se jedná o jednovýběrový t-test), anebo dvojicemi hodnot, u nichž se zkoumají jejich rozdíly (pak se jedná o párový t-test). Ve druhém případě jde o dvouvýběrový t-test.

V praxi se t-test často používá k porovnání, zda se výsledky měření na jedné skupině významně liší od výsledků měření na druhé skupině.

[editovat] Princip t-testu

Test je založen na skutečnosti, že výběrový průměr z normálního rozdělení, od něhož se odečte střední hodnota tohoto rozdělení a rozdíl se vydělí výběrovou směrodatnou odchylkou, má T rozdělení.

[editovat] Jednovýběrový t-test

Označme jednotlivé hodnoty náhodného výběru jako x₁,x₂,...,x_n, výběrový průměr jako a výběrový rozptyl jako S². Test testuje hypotézu, že střední hodnota normálního rozdělení, z něhož výběr pochází, se rovná μ₀.

Platí-li hypotéza, má náhodná veličina T rozdělení s n-1 stupni volnosti. Hypotézu zamítáme, je-li T příliš velké nebo příliš malé (výběrový průměr se příliš liší od očekávané střední hodnoty). Konkrétně se T porovná s kritickou hodnotou T rozdělení pro předem stanovenou hladinu významnosti.

[editovat] Párový t-test

Párový t-test se od jednovýběrového liší pouze v tom, že náhodný výběr poskytuje dvojice hodnot (y₁,z₁),(y₂,z₂),...,(y_n,z_n), přičemž uvnitř každé dvojice nemusí jít o nezávislé veličiny. V párovém t-testu ověřujeme, zda rozdíl středních hodnot rozdělení pro veličiny y a rozdělení pro veličiny z je roven určitému číslu (často nule).

Položíme-li x_i = y_i − z_i a označíme-li μ₀ jako číslo, kterému se má rovnat rozdíl středních hodnot, můžeme párový test zcela převést na případ jednovýběrového t-testu.

[editovat] Dvouvýběrový t-test

Označme jednotlivé hodnoty prvního náhodného výběru jako x₁,x₂,...,x_n, výběrový průměr jako a výběrový rozptyl jako . Obdobně označme jednotlivé hodnoty druhého náhodného výběru jako y₁,y₂,...,y_m, výběrový průměr jako a výběrový rozptyl jako . Oba výběry musejí být vzájemně nezávislé. Nakonec označme δ číslo, které se má rovnat rozdílu středních hodnot μ₁ − μ₂ (jak již bylo řečeno, často δ = 0).

Potom veličina

má za platnosti hypotézy, že se rozdíl středních hodnot rovná δ, T rozdělení o n+m-2 stupních volnosti. Hypotéza se tedy zamítá v případě, že veličina T překročí kritickou hodnotu T rozdělení o uvedeném počtu stupňů volnosti.

[editovat] Poznámky

Předpoklad, že oba výběry pocházejí z normálního rozdělení, nemusí být za každou cenu dodržen. T-test totiž pracuje s průměry obou výběrů, a ty již při rozsahu výběru v řádu desítek mají přibližně normální rozdělení díky centrální limitní větě.

Před provedením t-testu by mělo být prověřeno, že oba náhodné výběry mají stejný rozptyl. K tomu může posloužit F-test. Existují i modifikace t-testu pro výběry s různými rozptyly.

Pokud je rozsah výběru (resp. obou výběrů) velký (v řádu stovek a víc), lze místo kritických hodnot T rozdělení použít kritické hodnoty normálního rozdělení.

Je-li skupin hodnot (tj. náhodných výběrů) víc než dva, je správnější provést simultánní porovnání pomocí analýzy rozptylu než opakovanými t-testy po dvojicích.

[editovat] Literatura

Anděl, J.: Matematická statistika, SNTL 1985.