Tichonovova věta

Tichonovova věta je matematické tvrzení z oblasti topologie. Říká, že libovolný součin kompaktních topologických prostorů je také kompaktní. Platnost této věty je ekvivalentní axiomu výběru. Poprvé ji dokázal roku 1929 Andrej Nikolajevič Tichonov.

Obsah

1 Přesné znění
2 Důkaz
3 Aplikace
4 Reference

[editovat] Přesné znění

Za předpokladu axiomu výběru: Nechť $X_\alpha,\; \alpha\in A$ jsou kompaktní topologické prostory, A libovolná množina. Pak součin $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ je kompaktní.

[editovat] Důkaz

K důkazu se využívá takzvané Alexandrovovo lemma, které říká následující:

(Lemma Alexandrov) Nechť v topologickém prostoru Y existuje subbáze S taková, že z každého pokrytí prostoru Y prvky S lze vybrat konečné podpokrytí. Pak prostor Y je kompaktní.

Dále volme v součinu $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ subbázi $S=\{\Pi^{-1}_\alpha(G);\;\alpha\in A,\, G$ otevřená v $\,X_\alpha\}$ , kde $\,\Pi_\alpha:\prod_{\alpha\in A} X_\alpha \rightarrow X_\alpha$ jsou kanonické projekce. Nechť je dáno pokrytí $\mathcal{P}$ prostoru Y prvky S. Dle Alexandrovova lemmatu stačí ukázat, že z $\mathcal{P}$ lze vybrat konečné podpokrytí.

Volme $\,\mathcal{P})_\alpha=\{G\subseteq X_\alpha;\;\Pi^{-1}_\alpha(G)\in\mathcal{P}\}$ pro každé $\,\alpha\in A$ . Pak zřejmě alespoň jeden ze systémů $\mathcal{P}_\alpha$ pokrývá $\,X_\alpha$ , neboť jinak zvolíme-li pro každé $\,\alpha\in A x_\alpha$ takové, že není v žádné množině z $\mathcal{P}_\alpha$ , neleží $(x_\alpha)_{\alpha\in A}\in\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ v žádné množině z $\mathcal{P}$ (to plyne triviálně z $\mathcal{P}\subseteq S$ ), což je spor s tím, že $\mathcal{P}$ je pokrytí součinu. Tedy máme $α$ takové, že $\,\mathcal{P}_\alpha$ pokrývá $\,X_\alpha$ . Pak z kompaktnosti $\,X_\alpha$ existují $G_1,\ldots,G_k\in\mathcal{P}_\alpha$ , že $\bigcup_{i=1}^k G_i = X_\alpha$ , pak $\Pi^{-1}_\alpha(G_1),\ldots,\Pi^{-1}_\alpha(G_k)\in\mathcal{P}$ a zřejmě $\bigcup_{i=1}^k \Pi^{-1}_\alpha(G_i)=\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ , tedy jsme nalezli konečné podpokrytí $\mathcal{P}$ , což jsme potřebovali.

[editovat] Aplikace

Tichonovova věta se používá k definici Čech-Stoneovy kompaktifikace Tichonovových prostorů.
Pomocí Tichonovovy věty lze dokázat důležitou Banach-Alaogluovu větu z funkcionální analýzy.
V logice lze užít Tichonovovu větu k důkazu výrokové verze věty o kompaktnosti.

[editovat] Reference

V češtině:

Čech, Eduard Topologické prostory, Nakladatelství Československé akademie věd, 1959.

V angličtině:

Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.

A major general reference.
Johnstone, Peter T., Stone spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 3, Cambridge University Press, 1982.

Obsahuje diskuzi o slabších verzích Tichonovovy věty, např. pro Hausdorffovy prostory a seznam další literatury.
Johnstone, Peter T., Tychonoff's theorem without the axiom of choice, Fundamenta Mathematica 113, 21--35, 1981.

V němčině:

Tychonoff, Andrey N., Über die topologische Erweiterung von Räumen, Mathematische Annalen 102, 544--561, 1929. (Původní Tichonovův článek.)

Kategorie: Topologie | Matematické věty a důkazy

Tichonovova věta v jiných jazycích: Deutsch, English, Suomi, Français, עברית, Italiano, 한국어, Polski, Português, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Tichonovova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 14. 7. 2008 v 00:30.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).