Transcendentní číslo

Transcendentní číslo (nebo také transcendentální) je takové komplexní číslo, které není kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty. Netranscedentálním komplexním číslům proto říkáme algebraická čísla.

Lze dokázat (i když to není jednoduché), že čísla π nebo e jsou transcendentní čísla. Takových čísel je dokonce nespočetně mnoho — více, než čísel algebraických. Na tom je také založen Cantorův nekonstruktivní důkaz existence transcendentních čísel (viz níže).

[editovat] Důkazy

[editovat] Liouvillův důkaz

Důkaz existence těchto čísel přinesl v roce 1840 francouzský matematik Joseph Liouville, když zkoumal rozložení kořenů algebraických rovnic na reálné přímce.

Poté, co se neúspěšně pokoušel dokázat, že Eulerovo číslo je transcendentní, se mu také podařilo zkonstruovat nekonečnou řadu těchto čísel pomocí zlomků. Mimo jiné zkonstruoval také tzv. Liouvilleovo číslo

0.1100010000000000000000010000...

kde 1 je na n!-tém místě a 0 na ostatních místech.

[editovat] Cantorův nekonstruktivní důkaz

Zajímavý je také důkaz, který roku 1873 podal Georg Cantor. Díky práci Richarda Dedekinda věděl již Cantor, že všech algebraických čísel je pouze spočetně mnoho. Když tedy ukázal, že všech reálných čísel spočetně mnoho není, prokázal tím zároveň, že obory algebraických a reálných čísel nemohou být totožné, tedy transcendentální čísla existují. Cantor dokázal dokonce více: transcendentálních čísel je nespočetně mnoho, tedy více než čísel algebraických, a to aniž by jeho důkaz obsahoval jakýkoli náznak konstrukce byť jen jediného transcendentálního čísla. Jeho důkaz tedy spadá do kategorie nekonstruktivních důkazů.

[editovat] Význam

Důkaz, že číslo π je transcendentní, např. s konečnou platností dokazuje nemožnost kvadratury kruhu.

[editovat] Související články

• Algebraické číslo

[editovat] Externí odkazy

• http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Liouville.html